R se décompose sous la forme (ax²+b1x + c1)…(x² + bnx + cn) avec a > 0, b1²-4ac1 <0 et bi² - 4ci < 0 pour i > 0
Si 2 polynomes s’écrivent sous la forme A² + B² alors leur produit aussi
PQ = (A²+B²)(C²+D²) = (AD-BC)² + (AC+BD)²
Et x² + b1x + c1 = (x + p)² + q² (forme canonique) ce qui conclut l’histoire^^
@lionel : attention, dans la décomposition du polynome il peut y avoir aussi des racines d’ordres paires, sinon l’idée est bonne et classique.
Bon, un autre que j’ai eu en colle cette semaine:
Soit f:[a,b] \longrightarrow \mathbb{C}, où a et b sont des réels distincts, montrer que |\int_a^b f | \leq \int_a^b |f|.
Heu c’est du cours ca non?
C’est du cours pour une fonction à valeurs dans \mathbb{R}.
Ha… Il me semble que c’est fait en tant que cours dans le Monier pourtant 
Peut-être, pourtant je l’ai eu en colle, et je suis certain de ne pas l’avoir vu en cours…
Tu parles d’un Monier de quelle année ?
Heu celui de maintenant. Mais je peux me tromper.
J’en ai un de '97 sous la main, je vais regarder.
Effectivement, c’est une propriété qui apparaît.
En même temps ça se redémontre de tête en 3 secondes…
Si on écrit \int_a^b f = e^{i \theta} | \int_a^b f| alors | \int_a^b f| = \Re(| \int_a^b f|) = \Re(\int_a^b e^{-i \theta} f) = \int_a^b \Re(e^{-i \theta} f) \leq \int_a^b |e^{-i \theta} f| = \int_a^b |f|
Ou sinon en écrivant f = g+ih avec g et h à valeurs réelles…
Un des premiers exos que j’ai eu et qui m’avait marqué. Ca ne demande aucune connaissance mais seulement du bon sens 
. (tombé à un oral central)
Trouver le nombre de 0 à la fin de 1515!
Pour ça, il suffit de dénombrer combien de fois on a multiplié par 10=2*5 dans 1515!
Entre 1 et 1515, on a 757 multiples de 2. Parmi ces multiples de 2, on a \frac{755}{5}=151 multiples de 5 (donc de 10).
On a donc multiplié 155 fois par 10 dans 1515!, donc ce nombre se temine par 151 zéros.
vincentroumezy a écrit:
Pour ça, il suffit de dénombrer combien de fois on a multiplié par 10=2*5 dans 1515!
Entre 1 et 1515, on a 757 multiples de 2. Parmi ces multiples de 2, on a \frac{755}{5}=151 multiples de 5 (donc de 10).
On a donc multiplié 155 fois par 10 dans 1515!, donc ce nombre se temine par 151 zéros.
Ca ne marche pas désolé.
Il faut se concentrer uniquement sur le « réactif limitant » qui est le 5. Donc il y a E(\frac{1515}{5})=303 multiples de 5, ce à quoi il faut aussi ajouter ceux qui sont en plus multiples de 25 de 125 ou 625 qui apportent plusieurs 5 au produit.
Maintenant trouver le nombre de 0 dans le cas général (pour n!) !
(la formule devient assez intuitive avec l’exemple)
Dope a écrit:
Maintenant trouver le nombre de 0 dans le cas général (pour n!) !
Etant donné que la 2-valuation de n est supérieure à celle de 5 (c’est d’ailleurs montré par la formule qui suit), il suffit de trouver celle de 5.
On peut par exemple dire que c’est la somme des E(n/5^k), k allant de 1 à l’infini.
P.S. : Ca me rappelle vaguement un résultat, mais je n’arrive pas à retrouver lequel =/…
Edit : C’est effectivement la formule de Legendre, merci !
Cyril a écrit:
[quote=« Dope »]
Maintenant trouver le nombre de 0 dans le cas général (pour n!) !
Etant donné que la 2-valuation de n est supérieure à celle de 5 (c’est d’ailleurs montré par la formule qui suit), il suffit de trouver celle de 5.
On peut par exemple dire que c’est la somme des E(n/5^k), k allant de 1 à l’infini.
P.S. : Ca me rappelle vaguement un résultat, mais je n’arrive pas à retrouver lequel =/…
[/quote]
Oui c’est ça.
Le résultat auquel tu penses c’est la formule de Legendre qui dit exactement ça .
Après le rédiger avec tout le formalisme c’est pas forcément évident. Moi j’ai du passer par des suites…
Dope a écrit:
[quote=« Cyril »]
[quote=« Dope »]
Maintenant trouver le nombre de 0 dans le cas général (pour n!) !
Etant donné que la 2-valuation de n est supérieure à celle de 5 (c’est d’ailleurs montré par la formule qui suit), il suffit de trouver celle de 5.
On peut par exemple dire que c’est la somme des E(n/5^k), k allant de 1 à l’infini.
P.S. : Ca me rappelle vaguement un résultat, mais je n’arrive pas à retrouver lequel =/…
[/quote]
Oui c’est ça.
Le résultat auquel tu penses c’est la formule de Legendre qui dit exactement ça .
Après le rédiger avec tout le formalisme c’est pas forcément évident. Moi j’ai du passer par des suites…
[/quote]
C’est la somme de i=1..n, de la p valuation de i, c’est donc la somme de i=1..n de la somme de j=1..l’infini de L’indicatrice de p^j divise i.
Tu inverses les sommes,
Somme de j=1..l’infini de somme i=1..n p^j|i, qui vaut exactement E(n/p^j) (c’est le nombre de multiples de p^j inférieurs à n).
P.S. : Et oui, un jour j’apprendrai à écrire en Latex.
Cyril a écrit:
C’est la somme de i=1..n, de la p valuation de i, c’est donc la somme de i=1..n de la somme de j=1..l’infini de L’indicatrice de p^j divise i.
Tu inverses les sommes,
Somme de j=1..l’infini de somme i=1..n p^j|i, qui vaut exactement E(n/p^j) (c’est le nombre de multiples de p^j inférieurs à n).P.S. : Et oui, un jour j’apprendrai à écrire en Latex.
Je n’ai rien compris à ce que tu voulais dire
Cyril a écrit:
C’est la somme de i=1..n, de la p valuation de i, c’est donc la somme de i=1..n de la somme de j=1..l’infini de L’indicatrice de p^j divise i.
Tu inverses les sommes,
Somme de j=1..l’infini de somme i=1..n p^j|i, qui vaut exactement E(n/p^j) (c’est le nombre de multiples de p^j inférieurs à n).P.S. : Et oui, un jour j’apprendrai à écrire en Latex.
\sum_{i=1}^n v_p(i)
\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^{infini} 1_{i,j} où 1_{i,j} vaut 1 ssi p^j|i, 0 sinon.
Ensuite, on inverse les sommes :
\sum_{j=1}^{infini} \sum_{i=1}^n 1_{i,j}
Or, \sum_{i=1}^n 1_{i,j} est le nombre de multiples de p^j inférieurs à n, et vaut donc E{(n/{p^j})}.
