Allez je relance. Soit A \in M_n(\mathbb{K}) de rang 1, avec \mathbb{K} un corps quelconque.
Montrez que A^2=A \Longleftrightarrow Tr(A)=1.
Plus généralement, montrer que pour A \in M_n(\mathbb{C}) de rang 1, on a A^2 = Tr(A)A.
C’est encore vrai si on se place dans un corps algébriquement clos.
Asymetric a écrit:
Plus généralement, montrer que pour A \in M_n(\mathbb{C}) de rang 1, on a A^2 = Tr(A)A.
Je ne suis pas sûr que ce soit plus général puisque là tu prends K=C.
EDIT: l’exercice de vincentroumezy me semble facile en utilisant un théorème de réduction, mais je ne vois pas trop comment faire en restant dans le programme de sup.
compol a écrit:
[quote=« Asymetric »]
Plus généralement, montrer que pour A \in M_n(\mathbb{C}) de rang 1, on a A^2 = Tr(A)A.
Je ne suis pas sûr que ce soit plus général puisque là tu prends K=C.
[/quote]
Bah suffit de remplacer mon \mathbb{C} par \mathbb{K}, sans le définir comme le fait très bien vincentroumezy
Si tu veux rester dans le programme de sup, tu peux considérer une base appropriée dans laquelle tout marche 
en fait, j’ai supprimé une question intermédiaire que je vous mets en spoiler (et qui facilite beaucoup (trop) le truc):
Montrer que rang(A)=1 \Longrightarrow \exists (C,L) \in M_{n,1} (\mathbb{K}) \times M_{1,n} (\mathbb{K}) tels que A=CL
Quand tu mets 
, c’est que tu veux que je définisse K ?
vincentroumezy a écrit:
Quand tu mets
Oui.
L’indication de vincentroumezy fait quand même astuce.
Quand je parlais de base appropriée, je voulais dire qu’on considère un endomorphisme de \mathbb{C}^n associé à la matrice A dans une base et que l’on considère une base B_1 de ker f et a un vecteur tel que Vect(a) = Im f. Et donc (B_1,a) est une base de \mathbb{C}^n. (Dire pourquoi d’ailleurs). On vérifie alors que f^2 = \lambda f pour un certain \lambda à trouver.
Asymetric a écrit:
Plus généralement, montrer que pour A \in M_n(\mathbb{C}) de rang 1, on a A^2 = Tr(A)A.
C’est encore vrai si on se place dans un corps algébriquement clos.
C’est aussi vrai si le corps n’est pas algébriquement clos.
Nuhlanaurtograff a écrit:
[quote=« Asymetric »]
Plus généralement, montrer que pour A \in M_n(\mathbb{C}) de rang 1, on a A^2 = Tr(A)A.
C’est encore vrai si on se place dans un corps algébriquement clos.
C’est aussi vrai si le corps n’est pas algébriquement clos.
[/quote]
C’est vrai, comme le montre la preuve dans mon spoiler…
C’est fait
Un très facile pour se distraire:
Montrer que si lim_{x \longrightarrow +\infty} f'(x)+f(x)=0 alors$lim_{x \longrightarrow +\infty} f(x)=0$ avec f de R dans R C1sur R..
vincentroumezy a écrit:
Un très facile pour se distraire:
Montrer que si lim_{x \longrightarrow +\infty} f'(x)+f(x)=0 alors$lim_{x \longrightarrow +\infty} f(x)=0$ avec f de R dans R C1sur R..
[spoiler]Soit \epsilon > 0.
\exists A > 0, \forall x \ge A, |f'(x) + f(x)| \le \epsilon.
\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}^+, f(x)e^x = f(0) + \int_{0}^{x}(f'(t) + f(t))e^t dt
Donc \displaystyle \forall x \ge 0, |f(x)| \le |f(0)|e^{-x} \displaystyle + e^{-x}\int_{0}^{A}(f'(t) + f(t))e^t dt + \epsilon(1 - e^{-x}) \displaystyle \le petit + petit + \epsilon[/spoiler]
Ca marche !
Ya une autre façon de le traiter, peut-être plus élémentaire, qui utilise les équa diff.
vincentroumezy a écrit:
Ca marche !
Ya une autre façon de le traiter, peut-être plus élémentaire, qui utilise les équa diff.
Hmm ça ? :
On considère l’équation différentielle y' + y = f' + f donc les solutions sont de la forme x \rightarrow Ke^{-x} + e^{-x}\int_{0}^{x}(f'(t) + f(t))e^t dt où K \in \mathbb{R}.
Et on refait la même chose que dans mon message précédent puisque ici f est bien solution de cette équation différentielle et on montre que toutes les solutions sont de limites nulle ?
Exactement (si ça me semble plus élémentaire, c’est peut-être parcque j’ai juste décrit la preuve à l’oral en colle au lieu de la rédiger 
)
Bon aller un nouveau (classique, donc réservé à ceux qui ne le connaitraîent pas):
Soit N un nombre se terminant par 1,3,7, ou 9, montrer qu’il existe \lambda \in \mathbb{N} tel que \lambda N=11...11111, avec un nombre quelconques de 1.
Dans le même genre mais plus difficile :
Montrer qu’il existe une infinité de puissance de 2 qui commence par le chiffre 7.
J’ai pas vraiment d’idées, peut-être par l’absurde ??
Peut-être devrais-tu essayer de montrer qu’il en existe déjà une.
J’ai trouvé 2^{46} (merci Maple).
En reformulant, on doit montrer qu’il existe une infinité de n tels qu’il existe m entier vérifiant 7*10^m < 2^n < 8*10^m. En passant au log, on obtient : ln7 < nln2 - mln10 < ln8, et on peut trouver une infinité de couples n et m pour lesquels ça marche car ln2/ln10 n’est pas rationnel.