Nuhlanaurtograff a écrit:
En reformulant, on doit montrer qu’il existe une infinité de n tels qu’il existe m entier vérifiant 7*10^m < 2^n < 8*10^m. En passant au log, on obtient : ln7 < nln2 - mln10 < ln8, et on peut trouver une infinité de couples n et m pour lesquels ça marche car ln2/ln10 n’est pas rationnel.
Ouaip, une application sympa de la notion de densité.
Je crois que j’avais déjà posté l’exo dans le topic d’arithmétique, mais j’en suis pas sûr.
C’est joli en effet.
Bon bah encore un autre alors :
Montrer qu’il existe n \in \mathbb{N} tel que les 8 premiers chiffres après la virgule de \sqrt{n} soient 20092009.
Ca revient à montrer que 10^8(\sqrt{n}-E(\sqrt{n}))=20092009 soit \sqrt{n}-E(\sqrt{n})=0,20092009 mais après 
…
Ah non c’est faux ou alors tu as mal compris l’énoncé.
Il peut y avoir d’autres chiffres après 20092009, donc l’égalité 10^8(\sqrt{n} - E(\sqrt{n})) = 20092009 n’est pas vraie.
J’ai juste dis que les 8 premiers sont 20092009, pas que ce sont les seuls.
Oui, désolé, j’essayais de trouver un entier, où ça ferait exactement 0,20092009, mais pas sûr qu’il existe.
C’est impossible puisque si n n’est pas un carré parfait alors \sqrt{n} est irrationnel.
Effectivement.
Un petit indice ? Merci !
(Rien de ce que j’ai tenté ne fonctionne, jusqu’à présent).
vincentroumezy a écrit:
Un petit indice ? Merci !
(Rien de ce que j’ai tenté ne fonctionne, jusqu’à présent).
Tu as juste besoin de montrer que \sqrt{n+1} - \sqrt{n} tend vers 0.
Sinon, je me demandais s’il ne serai pas possible de généraliser à toute séquence de 8 chiffres…
PS: Merci pour l’indic.
On peut surtout montrer que l’ensemble des \sqrt{n} - E(\sqrt{n}) est dense dans [0,1].
vincentroumezy a écrit:
Sinon, je me demandais s’il ne serai pas possible de généraliser à toute séquence de 8 chiffres…
PS: Merci pour l’indic.
C’est possible de généraliser à toute séquence de n chiffres…
C’est vrai (y a pas de raison qu’il en soit autrement), d’ailleurs, c’est ce qui est fait en montrant que \{\sqrt{n}-E(\sqrt{n}), n \in \mathbb{N}\} est dense dans [0,1].
Tu as juste besoin de montrer que \sqrt{n+1}-\sqrt{n} tend vers 0
Facile, \sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}
Soient p un nombre premier et a et b deux entiers non multiples de p.
Montrer qu’il existe (x,y) \in \mathbb{Z}^2 tel que ax^2 + by^2 \equiv 1 \pmod p.
Je pense que c’est bien faisable avec le programme de sup.
vincentroumezy a écrit:
Facile, \sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}
Oui enfin, faudrait peut-être démontrer le résultat de départ maintenant et voir en quoi ça sert de montrer que \sqrt{n+1}-\sqrt{n} tend vers 0 
Un petit exo que j’ai eu en colle :
Montrer que le polynôme P = X^5 - X^2 + 1 a une unique racine réelle, non rationnelle.
Nuhlanaurtograff a écrit:
Oui enfin, faudrait peut-être démontrer le résultat de départ maintenant et voir en quoi ça sert de montrer que \sqrt{n+1}-\sqrt{n} tend vers 0
Ouaip
Pour l’exo d’Adolorante. Pour l’unicité de la solution, je pense qu’il suffit d’étudier la fonction f:x \longrightarrow x^5-x^2+1, pour montrer que cette racineest irrationnelle, on montre que si x=p/q était une racine rationnelle, alors p et q diviseraient 1, donc une racine rationnelle est forcément dans {-1,1}, or ni 1 ni -1 n’est racine, donc la racine est irrationnelle.
Concours général d’aujourd’hui :
Soit (Un), n appartenant à IN une suite de nombre réels positifs telle que U0=1 et telle que pour tout entier n> ou =1, au moins la moitié des termes U0, U1,…, U(n-1) soient supérieurs ou égaux à 2Un. Montrer que (Un) tend vers 0.
Good luck.
zboum a écrit:
Concours général d’aujourd’hui :
Soit (Un), n appartenant à IN une suite de nombre réels positifs telle que U0=1 et telle que pour tout entier n> ou =1, au moins la moitié des termes U0, U1,…, U(n-1) soient supérieurs ou égaux à 2Un. Montrer que (Un) tend vers 0.
Good luck.
J’imagine qu’en deux étapes (qu’il reste à démontrer), ça doit marcher :
1.On montre que (Un) est bornée.
2.On montre que M=lim(sup(Uk),k>n)=0 car M<=M/2
J’essaye de faire ça en rentrant.