Exos sympas MPSI

Questions/Réponses par disciplines Mathématiques
161

Asymetric a écrit:

Soient p un nombre premier et a et b deux entiers non multiples de p.
Montrer qu’il existe (x,y) \in \mathbb{Z}^2 tel que ax^2 + by^2 \equiv 1 \pmod p.

Je pense que c’est bien faisable avec le programme de sup.
Personne ?
Je suis très curieux de voir comment font les autres.

162

A Cyril, la notion de borne supérieure n’est pas au programme de TS.

Oui enfin, faudrait peut-être démontrer le résultat de départ maintenant et voir en quoi ça sert de montrer que \sqrt{n+1}-\sqrt{n} tend vers 0
.
Peut-être faut il exprimer la convergence en epsilonant ?

163

vincentroumezy a écrit:

A Cyril, la notion de borne supérieure n’est pas au programme de TS.

Oui enfin, faudrait peut-être démontrer le résultat de départ maintenant et voir en quoi ça sert de montrer que \sqrt{n+1}-\sqrt{n} tend vers 0
.
Peut-être faut il exprimer la convergence en epsilonant ?
ouiiiii
il existe un entier M tel que à partir de cet entier \sqrt{n+1}-\sqrt{n}<10^{-8}
et je te laisse continuer…

164

Soit N tq \forall n>N, \sqrt{n+1}-\sqrt{n}<10^{-8}.On prend un carré parfait a supérieur à N. Donc, \sqrt{a+20092009}-\sqrt{a}<0,20092009, reste plus qu’une minoration à faire :imp:

165

vincentroumezy a écrit:

Donc, \sqrt{a+20092009}-\sqrt{a}<0,20092009
???

166

zboum a écrit:

Concours général d’aujourd’hui :

Soit (Un), n appartenant à IN une suite de nombre réels positifs telle que U0=1 et telle que pour tout entier n> ou =1, au moins la moitié des termes U0, U1,…, U(n-1) soient supérieurs ou égaux à 2Un. Montrer que (Un) tend vers 0.

Good luck.
exo de récurrence sympathique

167

Concours général d’aujourd’hui :

Soit (Un), n appartenant à IN une suite de nombre réels positifs telle que U0=1 et telle que pour tout entier n> ou =1, au moins la moitié des termes U0, U1,…, U(n-1) soient supérieurs ou égaux à 2Un. Montrer que (Un) tend vers 0.

Good luck.
Bonjour tout le monde, j’étais à l’épreuve ce matin et j’ai été très déçu de me rendre compte que ma démonstration du seul exo que j’avais l’impression d’avoir fait en entier était en fait complètement fausse (à cause d’une faute de calcul débile dans les premières lignes :frowning: ) mais du coup je me demande si l’idée était récupérable ou si j’étais vraiment à côté de la plaque. En fait j’avais essayé de prouver par récurrence qu’on avait pour tout entier n \geq 0, u_n \leq \frac{1}{2^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}} pour conclure avec les gendarmes. Ca vous paraît raisonnable ?

168

Nan ca me parait pas raisonnable

169

Bon, c’est ce que je me disais.. (je me demande encore comment j’avais trouvé cette formule en fait :unamused: ) Je vais continuer à chercher, donc, merci :slight_smile: .

170

1, 1/2, 1/2, 1/4, 1/4, 1/4, 1/4, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/16, 1/16, 1/16, 1/16, 1/16, 1/16, 1/16, 1/16, 1/16, 1/16, 1/16, 1/16, 1/16, 1/16, 1/16, 1/16…
avec cette suite tu peux voir que tu as faux…et en te donnant cette suite je t’aide à trouver un raisonnement correct :wink:

171

Ah effectivement, elle prend à chaque indice la plus grande valeur possible non ? (je me souviens l’avoir vue sur les brouillons des gens avec qui j’en ai discuté après l’épreuve)

172

je viens de regarder l’énoncé ( play-files.net/images/133252 … age-16.jpg )
et l’exo 3 a l’air plus fun

173

J’ai eu cette impression aussi mais il m’a paru plus difficile à rédiger proprement (à moins que les démonstrations ‹ avec les mains › soient autorisées dans ce genre d’exo :grin: )

174

Oui l’exercice 3 c’était marrant d’essayer de faire passer des raisonnements sur des exemples en truc potable pour le concours général… Mais enfin ça m’a semble assez facile pour du CG, c’est juste pour l’espérance où je suis pas trop sûr de la formule, j’ai trouvé un truc du genre (n-1)!/8 fois un polynôme en n

175

Oui, de manière générale l’épreuve m’a semblé plus abordable que les annales sur lesquelles je m’étais entrainé (même si je ne l’ai pas particulièrement réussie). Tu as trouvé l’espérance comment d’ailleurs ? (je ne me souvenais que vaguement de la formule donc je me suis arrêté à cette question)

176

Nuhlanaurtograff a écrit:

[quote=« vincentroumezy »]
Donc, \sqrt{a+20092009}-\sqrt{a}<0,20092009
???
[/quote]
Oui ? $\sqrt{a+1}-\sqrt{a}<10^{-8},$$\sqrt{a+2}-\sqrt{a+1}<10^{-8},\Lonfrigtarrow \sqrt{a+2}-\sqrt{a}<2.10^{-8}$etc…

177

KGD a écrit:

Oui, de manière générale l’épreuve m’a semblé plus abordable que les annales sur lesquelles je m’étais entrainé (même si je ne l’ai pas particulièrement réussie). Tu as trouvé l’espérance comment d’ailleurs ? (je ne me souvenais que vaguement de la formule donc je me suis arrêté à cette question)
Pour l’espérance j’ai essayé de retrouver la formule en imaginant un jeu, on gagne 10 euros 5 fois sur 10, sinon niet, intuitivement on trouve qu’on gagne en moyenne 5 euros par partie d’ou la formule de l’espérance (la somme du produit des probas et de la « valeur » de la loi de proba pour chaque proba, en gros ici 100,5+00,8 = 2). Apres chaque trajet est équiprobable, et heu en fait je viens de réaliser que j’ai écrit n’importe quoi… Du coup la proba de chaque trajet est de 1/(n-1)! puisqu’on en a (n-1)! différents non? Donc l’espérance serait la somme des k de 2(n-1) (la valeur minimale de la longueur) jusqu’à n^2/2 (pour n pair) ou (n^2-1)2 (n impair) (la longueur maximale du trajet)multipliée par 1/(n-1)!, puisqu’on peut prouver que toutes les longueurs comprises entre le minimum et le maximum sont possibles. Sur ma copie j’ai multiplié par (n-1)!.. La somme on la décompose en (somme des k de 0 a n^2/2 - somme des k de 0 a 2(n-1)), ça se calcule facilement. Au final on tombe sur un polynôme de degré 4, logique puisqu’on a des n^2/2 qui traînent. J’ai pas eu la présence d’esprit de tester ma formule sur des cas simples, sinon j’aurai vu mon erreur, mais bon tant pis de toute facon je pense ne rien avoir :slight_smile:.

Tu as fait toutes les questions de l’exercice 1? As-tu trouvé que la réciproque était vraie (dernière question)?

J’étais bien content de ne pas voir de géométrie dans l’espace, et même en fait pas de géométrie du tout (on en fait très peu, donc on a quasiment pas d’entrainement sur des exos difficiles)

178

vincentroumezy a écrit:

[quote=« Nuhlanaurtograff »]

[quote=« vincentroumezy »]
Donc, \sqrt{a+20092009}-\sqrt{a}<0,20092009
???
[/quote]
Oui ? $\sqrt{a+1}-\sqrt{a}<10^{-8},$$\sqrt{a+2}-\sqrt{a+1}<10^{-8},\Lonfrigtarrow \sqrt{a+2}-\sqrt{a}<2.10^{-8}$etc…
[/quote]
C’est juste que je ne vois pas du tout en quoi ça va t’aider…

179

Dohvakiin a écrit:

…
Pour l’espérance, c’est plus compliqué :
Il faut calculer la somme sur k de k * le nombre de trajets de longueur k, et il te reste à diviser par le nombre totaux de trajets.

180

Nuhlanaurtograff a écrit:

C’est juste que je ne vois pas du tout en quoi ça va t’aider…
Finalement, c’est bien possible que ça ne serve à rien :blush:, mais l’aide de Vlastilin m’a fait penser à ça…