Dans ce cas, vous avez les moyens de vérifier seul la justesse de votre calcul…car l’intégrale que vous cherchez à calculer mesure une certaine aire. Laquelle? est-ce la valeur que vous avez trouvée?
voilà, j’ai un peu moins la flemme ( 
), voilà ce que j’ai fait (j’espère ne pas m’être planté…):
tan (arctan (x))=x
donc d’après le théorème de composition de dérivation, on a:
(1+tan(arctan(x))* tan(arctan(x)))g'(x)=1 avec $g(x)=arctan(x)$d’où:
g'(x)=\frac{1}{1+x^2}
\int_{0}^{1}\frac{x}{x+1} arctanx dx= \int_{0}^{1} arctan(x)dx -\int_{0}^{1} \frac{arctan(x)}{x+1}dx
d’où
\int_{0}^{1}\frac{x}{x+1} arctanx dx= [xarctan(x)]_0^1-\int_{0}^{1} \frac{x}{x^2+1} dx-[ln(x+1)arctan(x)]_0^1+\int_{0}^{1} \frac{ln(x+1)}{x^2+1} dx car arctan (x) et \frac{1}{x+1} sont de classe C_1 sur [0;1] donc on IPP (intègre par parties)
\int_{0}^{1}\frac{x}{x^2+1} dx=2[ln(x^2+1)]_0^1
et après mon brouillon est tellement confus que je ne sais plus où ça est (comme dirait nos amis belges 
)donc je continuerais demain si ce que j’ai déjà fait n’est pas déjà faux …[/tex]
emmo a écrit:
voilà, j’ai un peu moins la flemme (
tan (arctan (x))=x
donc d’après le théorème de composition de dérivation, on a:
(1+tan(arctan(x))* tan(arctan(x)))g'(x)=1 avec $g(x)=arctan(x)$d’où:
g'(x)=\frac{1}{1+x^2}
\int_{0}^{1}\frac{x}{x+1} arctanx dx= \int_{0}^{1} arctan(x)dx -\int_{0}^{1} \frac{arctan(x)}{x+1}dx
d’où
\int_{0}^{1}\frac{x}{x+1} arctanx dx= [xarctan(x)]_0^1-\int_{0}^{1} \frac{x}{x^2+1} dx-[ln(x+1)arctan(x)]_0^1+\int_{0}^{1} \frac{ln(x+1)}{x^2+1} dx car arctan (x) et \frac{1}{x+1} sont de classe C_1 sur [0;1] donc on IPP (intègre par parties)
\int_{0}^{1}\frac{x}{x^2+1} dx=2[ln(x^2+1)]_0^1
Tout va bien…
emmo a écrit:
et après mon brouillon est tellement confus que je ne sais plus où ça est (comme dirait nos amis belges
Et aussi, j’ai une très belle démonstration de ce résultat, mais pas assez de place dans la marge…
EXPLDR non j’ai trouvé, j’y ai même consacré ma pause mais je retrouve plus du tout où c’est faut dire que je suis super organisé… (d’ailleurs je vais essayer de m’entraîner pour la prépa parce j’écris « salement » 
et que c’est souvent confus^^)
je ne sais pas pourquoi mais je sens que je me suis planté ensuite et que cette intégrale ne se calcule pas en IPP ni même en faisant un changement de variable « évident » , me trompe-je?
en effet j’ai retrouvé mon brouillon et la partie qui en parlait et y avait une belle et bien grosse erreur: vous saviez que quand on inègre par partie la formule c’est:
\int u v' dx = [uv]- \int uv dx
quand je parlais d’âneries 
…
bon ben je vais essayer de chercher en faisant un changement de variable judicieux… est-ce que le changement de variable peut être trouver par un néophyte ou de nombreux galops d’entraînement ( le langage pédant) sont nécessaires?
Indication : le choix des bornes de l’intégrale n’est absolument pas anodin
(on ne sait pas calculer une primitive de x \mapsto \frac{arctan(x)}{x+1} avec les fonctions usuelles).
hmmmm l’idée que j’avais eu à la base était de faire un changement de variable avec tan x, est-ce ça?
mgrrrrrrrr zêtes cruels, vous ne voulez même pas me dire si je trompe…
j’abandonne pour ce soir mais est-ce que c’est normal que les calculs soient longs?
bon la nuit porte conseil (j’espère!!!) et à l’assaut du méchant dragon changement de variable (oula chuis faitgué)
Une fois le bon changement de variable trouvé,
il y a à peine trois lignes de calcul.
Et non, un changement de variable en \tan(x) ne fonctionne pas.
Réfléchis à mon indication : il faut calculer l’intégrale sans trouver de primitive
à la fonction dans l’intégrale.
mcmath a écrit:
Bonjour.
En parlant d’intégrales, en voici une autre \int_{0}^{1}\frac{x}{x+1} arctanx dx à résoudre avec le cours de terminale.
I = \int_{0}^{1}\frac{x}{x+1} arctan(x) dx = \int_{0}^{1}Arctan(x)dx - \int_{0}^{1} \frac{Arctan(x)}{x+1} dx
on pose K = \int_{0}^{1} Arctan(x)dx
après une petite intégration par parties on obtient :
K = [ x Arctan(x) - \frac{1}{2} ln(1+x^{2})]_{0}^{1}
on calcule l’autre integrale :
\int_{0}^{1} \frac{Arctan(x)}{x+1}dx = [ln(x+1)Arctan(x)]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{ln(x+1)}{1+x^{2}}
J = \int_{0}^{1} \frac{ln(x+1)}{1+x^{2}}
on fait le changement de variable : x=\frac{1-u}{1+u}
dx = \frac{-2}{(1+u)^{2}}
1+x = \frac{2}{1+u}
1+x^{2} = \frac{2(u^{2}+1)}{(1+u)^{2}}
\large J = \int_{1}^{0} \frac{ln(1+u)-ln(2)}{u^{2}+1} = - J - ln(2) \int_{1}^{0} \frac{1}{1+u^{2}}
J = \frac{ln(2)*pi}{8}
I = K + J - [ln(x+1)Arctan(x)]_{0}^{1}
= \frac{pi}{4} - \frac{ln(2)}{2} + \frac{ln(2)*pi}{8} - \frac{ln(2)*pi}{4}
= \frac{pi}{4} - \frac{ln(2)}{2} - \frac{ln(2)*pi}{8}
Queceque je gagne ?
ps : j’ai galéré un peu pour calculer J , j’ai demandé à un prof qui m’a dit qu’il fallait faire un changement de variable genre x = \frac{au+b}{cu+d} … je ne l’ai donc pas fé tout seul
Bravo !
En fait, on peut simplifier le calcul de
\int_0^1 \frac{\arctan x}{x+1}dx
en effectuant directement le changement de variable
t=\frac{1-x}{1+x}, et en établissant la formule
\forall t \in [0,1], \; \arctan t+\arctan \frac{1-t}{1+t}=\frac{\pi}{4}
(ce qui peut s’obtenir à partir des formules de trigo habituelles).
merci:)
Auriez vous une autre intégrale à nous donner ?
Très bien Akrame, c’est Boulehjoul l’indic?
Emmo, pour vérifier la justesse de ton résultat:
JeanN a écrit:
Maintenant, essaye de relier cette intégrale à l’aire d’un quart de cercle…
Sylvie Bonnet a écrit:
Dans ce cas, vous avez les moyens de vérifier seul la justesse de votre calcul…car l’intégrale que vous cherchez à calculer mesure une certaine aire. Laquelle? est-ce la valeur que vous avez trouvée?
.
Ah oui en effet, il y avait plusieurs techniques que je n’avais jamais utilisé : pas étonnant que je n’y arrive pas 
.
Par contre, c’est un peu difficile de calculer cette intégrale sans connaître les propriétés de la fonction arctan…
A moins que je me trompe, il a bien fallu utilisé une primitive de arctan, non?
Et comme le suggère dSP, on peut utiliser arctant + arctan(1-t/1+t) =pi/4, soit une relation liée aux propriétés de cette fonction…
Peut-on le savoir en terminale (je vérifie pour voir si je fais mes révisions correctement ^^) ?
Merci. Bye.
PS: Je me permet de répondre car c’est moi qui ai créé ce post :p.
omamar3131 a écrit:
Très bien Akrame, c’est Boulehjoul l’indic?
Oui c’est lui 
Akrame a écrit:
[quote=« omamar3131 »]
Très bien Akrame, c’est Boulehjoul l’indic?
Oui c’est lui
[/quote]
Passe lui le bonjour de ma part alors!!
Tiens, voilà une une integralle à faire, attention, tu ne dois pas dépasser 3 lignes de calsul!!(Je pense que votre prof vous l’a donné mais bon, peut-être qu’emmo sera intéréssé aussi):
calculer \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{cos(x)}{cos(x)+sin(x)}dx}.
Elle est facile mais pas mal.(au sens jolie)
omamar3131 a écrit:
[quote=« Akrame »]
[quote=« omamar3131 »]
Très bien Akrame, c’est Boulehjoul l’indic?
Oui c’est lui
[/quote]
Passe lui le bonjour de ma part alors!!
Tiens, voilà une une integralle à faire, attention, tu ne dois pas dépasser 3 lignes de calsul!!(Je pense que votre prof vous l’a donné mais bon, peut-être qu’emmo sera intéréssé aussi):
calculer \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{cos(x)}{cos(x)+sin(x)}dx}.
Elle est facile mais pas mal.(au sens jolie)
[/quote]
C’est pas le truc du \int_{a}^{b}f(t)dt = \int_{a}^{b}f(a+b-t)dt ?
Akrame a écrit:
[quote=« omamar3131 »]
[quote=« Akrame »]
[quote=« omamar3131 »]
Très bien Akrame, c’est Boulehjoul l’indic?
Oui c’est lui
[/quote]
Passe lui le bonjour de ma part alors!!
Tiens, voilà une une integralle à faire, attention, tu ne dois pas dépasser 3 lignes de calsul!!(Je pense que votre prof vous l’a donné mais bon, peut-être qu’emmo sera intéréssé aussi):
calculer \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{cos(x)}{cos(x)+sin(x)}dx}.
Elle est facile mais pas mal.(au sens jolie)
[/quote]
C’est pas le truc du \int_{a}^{b}f(t)dt = \int_{a}^{b}f(a+b-t)dt ?
[/quote]
J’ai eu un exo comme celui dont tu parles en colle, mais c’est pas ca, j’ai dit 3 lignes .