Pour la question 3 perso, j’ai regroupé les termes par 2, calculé un equivalent du terme general de la serie obtenue (alors strictement négatif), puis appliqué le théoreme de sommation des relations de comparaison, puis on se retrouve alors avec un equivalent type sommes partielles d’une série de riemann divergent dont on calcule un equivalent par comparaison somme integrale (je ne savais pas d’ailleurs s’il fallait la rediger, ou bien si l’on peut balancer l’equivalent des sommes partielles de riemann direct) , on divise par n+1 et on a bien la c-convergence !
(sinon ouais c’était vraiment atroce cette epreuve)
crocoscar a écrit:
Pour la question 3 perso, j’ai regroupé les termes par 2, calculé un equivalent du terme general de la serie obtenue (alors strictement négatif), puis appliqué le théoreme de sommation des relations de comparaison, puis on se retrouve alors avec un equivalent type sommes partielles d’une série de riemann divergent dont on calcule un equivalent par comparaison somme integrale (je ne savais pas d’ailleurs s’il fallait la rediger, ou bien si l’on peut balancer l’equivalent des sommes partielles de riemann direct) , on divise par n+1 et on a bien la c-convergence !
(sinon ouais c’était vraiment atroce cette epreuve)
Je pense que c’est la méthode la plus naturelle (l’équivalent des séries de Riemann faisant partie du cours il me semble). J’ai utilisé la majoration des sommes partielles d’une série alternée personnellement, mais c’est quand même moins direct.
Une question qui en a déroute plus d’un aussi, c’est la question 4.
J’ai réussi à m’en sortir en écrivant (S(n+1) - S(n) )/ n → 0 pour |z0|>R s’il y a C-convergence.
à cyril et ixnay, juste une précision je ne comprends pas comment on peut majorer la suite des sommes partielles sn(finie) d’une série altérnée car selon mon cours, seul le reste d’ordre n est majoré par la valeur absolue du premier terme.or là sn est une somme finie est-ce que le théorème se prolonge à de tels cas?
Pour la 4 on pouvait appliquer 2 fois le résultat de la question 2 : d’abord sur la somme des sommes partielles, on obtient alors Sn/(n+1) → 0 donc Sn/n → 0 donc le terme général de Sn est C-convergent donc (question2) ((an)/n)*zo^n converge, on montre alors par l’absurde que zo=<R (il me semble que c’est parce que les series entieres (an)z^n et ((an)/n)*z^n ont même RCV, en gros …)
free_man →
Pour être rigoureux,
$\sum_{k=0}^{n} (-1)^k k^{\alpha} = (-1)^n \sum_{k=0}^{n} (-1)^k (n-k)^{\alpha} = (-1)^n \sum_{k=0}^{+\infty } a_k
a_k = (-1)^k (n-k)^{\alpha} : si : k \leq n, : 0 : sinon$
et ensuite tu prends le premier reste (je l’ai pas justifié autant que ça sur ma copie).
Bien sûr, faire appel aux séries alternées, ca fait un peu bricolage comme ça, mais c’est juste pour éviter d’avoir à refaire la démonstration.
Dans ce cas le soucis principal c’est que tu dois considérer a_{k,n} et plus seulement a_k car tous tes a_k dépendent de n, et quand tu fais tendre n vers +\infty est bien là… d’autre part je vois mal comment tu peux montrer que la limite des a_k vaut 0…
ok bien joué ixnay, c’était probablement ce qu’il y’avait de plus rapide.Sinon pour les détails de justifications en général je pense que si la copie est excellente globalement ils ne devraient pas chipoter.
j’ai fait pareil ^^
(ou au pire, « très très bon »)