Bonjour,
on me demande d’écrire sous sa forme exponentielle z=1+e^ia
je n’arrive pas à faire cet exo merci de m’aider
Factorise par e^{i\frac{a}{2}} et sert toi de la formule d’euler (\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2})
Alors, « écrire sous forme exponentielle », ça veut dire quoi ?
Ca veut dire écrire quelque chose du genre z = \rho \cdot e^{i \theta} où \rho représente le module de z et \theta représente un argument de z
On a donc besoin d’avoir accès à quelles information sur z ?
Pour les obtenir, tu as différentes méthodes, une approche sympathique et utile dans plein d’autres circonstances, c’est d’écrire 1 = e^{i 0}, puis d’utiliser ce qu’on appelle « l’angle moitié », c’est à dire de factoriser par l’exponentielle de la moyenne (arithmétique) des arguments. En gros, de façon générale, ça consiste à écrire
e^{ia} + e^{ib} = e^{i (a + b)/2} (e^{i(a-b)/2} + e^{- i (a + b)/2})
Pourquoi faire cela ? Parce qu’en fait, le terme dans la parenthèse à droite n’est autre que 2 \cos((a - b)/2) (ne pas oublier le 2, oubli classique au début…).
Que trouves-tu en l’appliquant à ton exo ?
Sauf erreur de ma part, on a en gros z = 2 cos(a/2) e^{ia/2}
En fait, c’est quasiment l’écriture exponentielle de z, la seule chose à gérer, c’est de déphaser de \pi s’il s’avérait que \cos(a/2) était négatif, ce qui n’arrive pas d’ailleurs si tu choisis de travailler avec a \in [- \pi, \pi [
Essaie de bien reprendre ça en comprenant ce qui se passe, fais des dessins, c’est très important ici pour visualiser les choses.
j’ai un peu de mal à comprendre pourquoi vous écrivez le a/2 ? malgré votre explication…
j’ai e^(ia)-1 donc e^ia=? désolé je ne comprends pas bien
Voici ce qu’on te propose :
e^{ia}+1=e^{ia/2}(...+....)
Essaye de compléter les pointillés
e^ia+1=e^ia/2(e^ia/2+e^-ia/2)
C’est ça, maintenant faut simplifier ton second terme, d’où les allusions aux cosinus 
La factorisation par l’arc moitié est utile car tu récupères des cosinus et sinus.
Tu as déjà linéarisé ? Utilise les formules d’Euler et le tour est joué;
NB : COUCOU ROMAIN + CELUI KI SAI PAS UTILISAY LES KONPLEXE C TRO UN BOLOSS 
je sais que cos a=(e^ia+e^-ia)/2 donc la parenthèse s’écrit cos a?
Non
exprime plutôt cos(a/2) à l’aide de la même formule
cos(a/2)=1/4(e^ia+e^-ia) ?
Tu as un problème avec les parenthèses… Tu confonds cos(a/2) et (cos a)/2
donc je dois écrire : cos(a/2)=(e^ia/2+e^-ia/2)/2
je ne comprends pas trop (je commence juste à « toucher » à ce chapitre mais j’aimerais pouvoir comprendre)
Oui c’est ça, tu fais passer le 2 de l’autre côté et c’est gagné 
vetolama2 a écrit:
e^ia+1=e^ia/2(e^ia/2+e^-ia/2)
C’est mieux. Tu n’as plus qu’à remplacer dans la relation ci-dessus pour obtenir…
cos(a/2)=e^ia/4(e^ia+e^-ia) comme ceci ?
Non, ton objectif c’est d’écrire exp(ia)+1 sous la forme exp(ia/2) fois 2 fois cos de quelque chose…
=e^ia/2(cosa) car cosa=(e^ia+e^-ia)/2
Non bon attend, on reprend les choses calmement.
Voilà pour l’instant où tu en es :
1 + e^{ia} = e^[i a/2} (e^[-ia/2} + e^{ia/2})
On sait que on a pour tout \theta : \cos(\theta) = (e^{i \theta} + e^{-i \theta}) / 2 n’est-ce pas ?
En particulier, si on écrivait ça pour \theta = a /2 on arrive à une formule que tu as toi-même cité : \cos(a/2) = (e^{ia/2} + e^{-ia/2})/2. N’est-ce pas ?
Bon, en « faisant passer le /2 de l’autre côté » tu es d’accord qu’on a :
2 \cos(a/2) = e^{ia/2} + e^{-ia/2}
N’est-ce pas ?
dans ce cas on repart de la relation qu’on a établi au début avec la technique de l’angle moitié :
Tu peux écrire :
1 + e^{ia} = e^{i a/2} \cdot ( \cdots )
Complète les points-tillés, il n’y a pas de piège 
ok 
donc : 1+e^ia=e^ia/2(e^-ia/2+e^ia/2)
je ne comprends pas aussi d’où vient le ia/2 malgré votre explication détaillée, l’a t-on trouvé au hasard?