Oraux Maths 07-08

Questions/Réponses par disciplines Mathématiques
21

Mandalar a écrit:

Bonjour,
Est-ce qu’il serait possible de mettre les discussions sur les solutions dans un autre topic histoire de rendre celui-ci plus lisible (2 pages pour seulement deux énoncés :confused: ) et ne laisser ici que les énoncés et (éventuellement) une solution détaillée ?

plussoie

22

J’ai rassemblé les deux premières planches dans le premier post. Je ferai la même chose chaque soir avec les suivants … s’il y en a …

23

**Concours **: TPE/EIVP
Filière : PSI

Enoncé :

I) Soit A matrice symétrique réelle d’ordre n . Montrer qu’il existe un polynôme P dans R[X] tel que (P(A))^3 = A

Expliciter P pour la matrice: \left(\begin{array}{ccc}5&2&2\\ 2&5&2\\ 2&2&5\end{array}\right)

II)Convergence et calculer la somme

S= \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{1^2 + 2^2 + ... + n^2}.

24

concours : ISUP
(c’est un concours commun à toutes les fillières)

L’épreuve orale dure 30 minutes sans préparation.

exo 1 :
f(x)=int( exp (-t²+itx) dt , -oo, +oo )

  1. Existence de f ?
  2. Continuité de f ?
  3. Dérivabilité de f ?
  4. En intégrant par partie, montrer que f vérifie : xf(x) + f’(x) = 0
  5. Trouver f sachant que f(0)=Pi

exo 2 :
E un Kevn de dimension finie n.
f et g deux endomorphismes de E tels que f°g=0 et f+g soit inversible .

  1. Montrer que Im(g) et Ker(g) sont supplémentaires.
  2. Montrer que rg(f) + rg(g) = n[/u]
25

Philippe PATTE → merci :slight_smile:

Concours : Mines
Filère : MP

Sujet :
Premier exercice :
f(x,y) = \frac{x*sin(y) - y*sin(x)}{x^2 + y^2} si (x,y) \neq (0,0)
et f(0,0) = (0,0)
Montrer que f est de classe \mathcal{C}^{1} sur \mathbb{R}^{2}.

Deuxième exercice :
On s’intéresse à l’équation différentielle x*y'' + y' + x*y = 0 sur \mathbb{R}.

  1. Montrer qu’il existe une unique solution f de l’équation sur \mathbb{R} développable en série entière telle que f(0)=1. On la note f0.
  2. Montrer que si f est une autre solution de l’équation sur \mathbb{R}_{+}^{*} alors il est équivalent de dire :
  • (f0, f) est une base des solutions sur \mathbb{R}_{+}^{*}.
  • f est non bornée au voisinage de 0.
26

Concours : Mines/Ponts
Filière : MP

Enoncé :
Exercice A

  1. Soit P \in \mathbb{R}[X] unitaire.
    Montrer que P est scindé sur \mathbb{R} si et seulement si \forall z \in \mathbb{C}, \left| P(z) \right| \geq \left| Im(z) \right|^{deg(P)}.
  2. Soit E un \mathbb{R}- espace vectoriel de dimension finie.
    Soit (u_m)_{m \in \mathbb{N}} une suite d’endomorphismes diagonalisables qui converge vers u \in \mathcal{L}(E).
    u est-il diagonalisable ? trigonalisable ?
  3. En déduire l’adhérence de \mathcal{D}_n(\mathbb{R}) dans \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) et celle de \mathcal{D}_n(\mathbb{C}) dans \mathcal{M}_n(\mathbb{C}), où \mathcal{D}_n(\mathbb{K})=\left{ M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) | M est diagonale }.

Exercice B

  1. Soit E=\mathcal{C}^{0}([0,1],\mathbb{R}) muni d’une norme.
    Montrer que A=\left{ f \in E | f(0)=0 \right} est ou bien dense dans E, ou bien un fermé de E.
  2. Donner un exemple de norme sur E pour laquelle A est dense dans E, et un exemple de norme pour laquelle A est un fermé de E.

Des questions sont intervenues en cours d’oral :

  • l’application \varphi : \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}[X] , M \mapsto \Pi_M(X), où \Pi_M(X) représente le polynôme minimal de M est-elle continue ?
  • redémontrer qu’un hyperplan est ou bien dense, ou bien fermé.
27

Pour gardener oui c’est bien le truc que j’ai pas remarqué c’est extrêmement frustrant… Depuis qu’on a étudié la diagonalisation, je n’arrive pas à me mettre dans le crâne : VERIFIER SI UNE MATRICE NE SERAIT PAS SYMETRIQUE PAR HASARD :imp:

J’allais vomir quand en m’éloignant un peu du tableau… ça a fait tilt, j’ai effacé le tableau en marmonnant que tous les raisonnements compliqués que j’avais faits ne servaient à rien …

28

Concours : CCP
Filière : MP

Énoncé :
Exercice 1.
Soit A = \left(\begin{matrix}1 & -1 & 1\\-1 & 1 & -1\\1 & -1 & 1\end{matrix}\right).
Soit f \in {\cal L}(\mathbb{R}^3) l’endomorphisme canoniquement associé à A.

  1. Sans calcul :
    a) Donner le rang de f.
    b) Montrer que 0 est valeur propre d’ordre 2 de f.
    c) f est-elle diagonalisable ?
  2. Calculer A^2, en déduire une autre justification de la question 1 c).

Exercice 2.
Soit f : x \mapsto \int_0^{+\infty} e^{-(t^2 + \frac{x^2}{t^2})} dt.

  1. Montrer que f est définie et continue sur \mathbb{R}
  2. Prouver que f est dérivable sur \mathbb{R}*
  3. Montrer que f'(x) + 2f(x) = 0. En déduire explicitement f.

J’ai fait rapidement l’exercice 1, puis l’exercice 2 (la question 3 sans préparation), après il m’a fait démontrer quelques petits trucs que j’avais dits rapidement dans 1) et 2), puis m’a fait remarquer que mes dominations n’étaient pas bonnes, j’en ai corrigé une, et il a dû m’aider pour l’autre.

29

Concours : ENS

Sujet :
1-Soit (k,x)\in\mathbb{N^{*}} * \mathbb{R})
Montrer que E{(\frac{E{(kx)}}{k}})=E{(x)}
2-Soit n\in\mathbb{N^{*}}.
Soit (x_k)_{k\geq 1} définie par :
x_0=n
x_{k+1}=E{(\frac{x_k+E{(\frac{n}{x_k}})}{2}})

a-Montrer que \forall k, x_k\geq E{(\sqrt{n})}
b-Montrer que x_k=x_{k+1} \Leftrightarrow x_k=sqrt{n}

30

Marrant, je crois que la première, on l’a faite en Sup.

Quelle ÉNS ? Lyon ?

31

Jill-Jênn a écrit:

Marrant, je crois que la première, on l’a faite en Sup.

On l’a fait cette année aussi. L’exo est dans le Dunod de MPSI-PCSI whoua, j’arrive à faire un truc de l’ENS … heu du calme

32

Euh… le 2°/ il n’y a pas de question ???

33

Je propose « étude complète de la suite » :smiley:

34

Elle est périodique à partir d’un certain rang, c’est assez immédiat. Que dire d’autre ?.. mm ah si : il faudrait voir à ce que xk ne puisse jamais valoir 0.

35

sunmat a écrit:

Elle est périodique à partir d’un certain rang, c’est assez immédiat. Que dire d’autre ?.. mm ah si : il faudrait voir à ce que xk ne puisse jamais valoir 0.

Suis-je bête, j’ai oublié la question :laughing:

C’est corrigé :wink:

36

comment on fait pour voir les notes de l’ecrit de l’ens?

37

stephane-si a écrit:

comment on fait pour voir les notes de l’ecrit de l’ens?

Ya un sujet similaire ==> Par ici !

38

cnico a écrit:

Concours : Mines/Ponts
Filière : MP

Enoncé :
Exercice A

  1. Soit P \in \mathbb{R}[X] unitaire.
    Montrer que P est scindé sur \mathbb{R} si et seulement si \forall z \in \mathbb{C}, \left| P(z) \right| \geq \left| Im(z) \right|^{deg(P)}.
  2. Soit E un \mathbb{R}- espace vectoriel de dimension finie.
    Soit (u_m)_{m \in \mathbb{N}} une suite d’endomorphismes diagonalisables qui converge vers u \in \mathcal{L}(E).
    u est-il diagonalisable ? trigonalisable ?
  3. En déduire l’adhérence de \mathcal{D}_n(\mathbb{R}) dans \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) et celle de \mathcal{D}_n(\mathbb{C}) dans \mathcal{M}_n(\mathbb{C}), où \mathcal{D}_n(\mathbb{K})=\left{ M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) | M est diagonale }.

Pour le 3) je suppose qu’on cherche l’adhérence des matices diagonalisables et non l’adhérence des matrices diagonales !

39

Madec a écrit:

Pour le 3) je suppose qu’on cherche l’adhérence des matices diagonalisables et non l’adhérence des matrices diagonales !

je pense que c’est la meme chose

40

Objet-Trouvé a écrit:

II)Convergence et calculer la somme

S= \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{1^2 + 2^2 + ... + n^2}.

il suffit de connaitre la somme des p^2 sinon la redémontrer, puis utiliser une comparaison série intégral (étape qui peut etre supprimé mais résultat devient hors programme)