Madec a écrit:
[quote=« cnico »]
Concours : Mines/Ponts
Filière : MP
Enoncé :
Exercice A
- Soit P \in \mathbb{R}[X] unitaire.
Montrer que P est scindé sur \mathbb{R} si et seulement si \forall z \in \mathbb{C}, \left| P(z) \right| \geq \left| Im(z) \right|^{deg(P)}.
- Soit E un \mathbb{R}- espace vectoriel de dimension finie.
Soit (u_m)_{m \in \mathbb{N}} une suite d’endomorphismes diagonalisables qui converge vers u \in \mathcal{L}(E).
u est-il diagonalisable ? trigonalisable ?
- En déduire l’adhérence de \mathcal{D}_n(\mathbb{R}) dans \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) et celle de \mathcal{D}_n(\mathbb{C}) dans \mathcal{M}_n(\mathbb{C}), où \mathcal{D}_n(\mathbb{K})=\left{ M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) | M est diagonale }.
Pour le 3) je suppose qu’on cherche l’adhérence des matices diagonalisables et non l’adhérence des matrices diagonales !
[/quote]
Bon une proposition:
pour le 1 ) sens direct
z= x+iy p(z)= ( iy +x-a1)…(iy+x-an)
!p(z)! >= !iy!^n
sens réciproque si P n’est pas scindé il existe au moins une racine complexe , soit z une telle racine on aurait :
0 >= !Im(z)!^n contradictoire
pour le 2 )
soit la suite de matrice Mp de diagonale i/ p avec i e { 1 , n} et de diagonale secondaire constituée de 1
chaque Mp est diagonalisable ( car polynnôme caractéristique scindé à racine simple) et la suite converge vers une matrice nilpotente donc non diagonalisable .
Soit Dn n’est pas fermé et son adhérence qui est un fermé ne peut donc être Dn
On peut essayer de montrer que Dn\ (adhérence) est Tn (ensemble des matrices trigonalisables)
Si T est dans Tn on peut modifier légèrement les termes diagonaux pour qu’ils soient distinctes , donc T est la limite d’une suite de matrices diagonalisables .
soit Tn inclus dans Dn
par ailleurs Dn inclus dans Tn
donc si on montre que Tn est un fermé alors Dn\ =Tn
D’après la continuité de l’application qui à M → P son polynôme minimal
alors si Tp convergeant vers T vérifie !Tp(z)! => !Im(z)!^n
c’est encore vrai en passant à la limite sur p donc !T(z)!>= !Im(z)!^n
et d’après la caractérisation du 1) cela prouve que T est dans Tn
- dans Mn (R) on a donc Dn\ = Tn
dans Mn(C) on a donc Dn\ = Mn(C) puisque toute matrice de Mn(C) est trigonalisable .
stephane-si a écrit:
[quote=« Objet-Trouvé »]
II)Convergence et calculer la somme
S= \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{1^2 + 2^2 + ... + n^2}.
il suffit de connaitre la somme des p^2 sinon la redémontrer, puis utiliser une comparaison série intégral (étape qui peut etre supprimé mais résultat devient hors programme)
[/quote]
Oui , mais pour trouver le résultat , je me suis orienté vers la décomposition en éléments simples du résultat précédent
En passant la somme partielle d’ordre n de S , et en posant H la somme partielle de la série harmonique , les termes s’arrangent assez bien (la constante d’Euler s’élimine) et on trouve le résultat
L’examinateur m’a questionné sur la constante d’Euler (HP), mais a été clément
benjaminix a écrit:
. L’exo est dans le Dunod de MPSI-PCSI ]
tu crois qu’il n’ya qu’un seul Dunod de MPSI-PCSI 
stephane-si a écrit:
[quote=« Objet-Trouvé »]
II)Convergence et calculer la somme
S= \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{1^2 + 2^2 + ... + n^2} .
il suffit de connaitre la somme des p^2 sinon la redémontrer, puis utiliser une comparaison série intégral (étape qui peut etre supprimé mais résultat devient hors programme)
[/quote]
suis pas d’accord avec toi…pour la comparaison , tu utilise qu’elle fonction?
perso , j’y arrive en sachant la somme des k^2 , décomposer la somme des 1/k de 0 à 2n+1 en paires et impaires, décomposition en parties polaires , en introduisant finalement la constante gamma.
je trouve 18-24ln(2) sauf erreur. 
c’est ça pour éviter la constante gamma ( qui est hors programme) j’utilise une comparaison série intégral, pour la fonction c’est 1/t
stephane-si a écrit:
tu crois qu’il n’ya qu’un seul Dunod de MPSI-PCSI
Le Dunod « tout-en-un » de première année MPSI-PCSI (pour être plus précis 
)
cnico a écrit:
Concours : Mines/Ponts
Filière : MP
Enoncé :
Exercice A
- Soit P \in \mathbb{R}[X] unitaire.
Montrer que P est scindé sur \mathbb{R} si et seulement si \forall z \in \mathbb{C}, \left| P(z) \right| \geq \left| Im(z) \right|^{deg(P)}.
- Soit E un \mathbb{R}- espace vectoriel de dimension finie.
Exercice B
- Soit E=\mathcal{C}^{0}([0,1],\mathbb{R}) muni d’une norme.
Montrer que A=\left{ f \in E | f(0)=0 \right} est ou bien dense dans E, ou bien un fermé de E.
- Donner un exemple de norme sur E pour laquelle A est dense dans E, et un exemple de norme pour laquelle A est un fermé de E.
Des questions sont intervenues en cours d’oral :
- l’application \varphi : \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}[X] , M \mapsto \Pi_M(X), où \Pi_M(X) représente le polynôme minimal de M est-elle continue ?
- redémontrer qu’un hyperplan est ou bien dense, ou bien fermé.
l’application qui a f–> f(0) est une forme linéaire
donc A est le noyau de cette forme linéaire donc A est un hyperplan .
Un hyperplan est soit dense , soit fermé .
Si A est fermé c’est fini !
si A n’est pas fermé :
l’ adhérence d’un sev est un sous espace vectoriel donc A inclus strictement dans A/ puisque A n’est pas fermé , et comme A est un hyperplan alors A/ = E d’ou la densité .
si on prend pour norme sup f sur [0,1] alors A est réduit à la fonction nulle c’est donc un fermé .
si on prend comme norme int [ 0, 1] f^2
alors A est dense :
soit f quelconque tel que f(0)# 0
on peut alors considérer la suite gn définie par un triangle de sommet
f(0) et de base 1/n et nul pour x=> 1/n
alors la suite de fonction f-gn est dans A et N(f-gn) → 0
d’où la densité.
Jill-Jênn a écrit:
Concours : CCP
Filière : MP
Énoncé : …
Un de mes élèves a eu la même planche lundi ou mardi : C’est varié, les oraux ! 
Madec a écrit:
Pour le 3) je suppose qu’on cherche l’adhérence des matices diagonalisables et non l’adhérence des matrices diagonales !
Un sev de dimension finie est toujours fermé … Tu dois avoir raison.
Madec a écrit:
D’après la continuité de l’application qui à M → P son polynôme minimal, …
Elle n’est pas continue, je pense.
stephane-si a écrit:
puis utiliser une comparaison série intégral
Une telle comparaison peut donner la nature, mais ne donnera jamais la valeur exacte de la somme.
Philippe PATTE a écrit:
[quote=« Madec »]
D’après la continuité de l’application qui à M → P son polynôme minimal, …
Elle n’est pas continue, je pense.
[/quote]
Bon alors j’espère que l’application qui à M —> Xsi son plynôme caractéristique l’est , car sinon je ne vois pas trop pourquoi le colleur pose cette question intermédiaire ?
Madec a écrit:
[quote=« Philippe PATTE »]
[quote=« Madec »]
D’après la continuité de l’application qui à M → P son polynôme minimal, …
Elle n’est pas continue, je pense.
[/quote]
Bon alors j’espère que l’application qui à M —> Xsi son plynôme caractéristique l’est , car sinon je ne vois pas trop pourquoi le colleur pose cette question intermédiaire ?
[/quote]
Sûrement parce que le candidat a fait l’erreur.
Le pol min de la matrice A strictement triangualire sup dont les coeff au-dessus de la diagonale sont des 1 vaut X^n. Idem pour aA. Que se passe-t-il quand a tend vers 0 ?
Madec a écrit:
[quote=« Philippe PATTE »]
[quote=« Madec »]
D’après la continuité de l’application qui à M → P son polynôme minimal, …
Elle n’est pas continue, je pense.
[/quote]
Bon alors j’espère que l’application qui à M —> Xsi son plynôme caractéristique l’est , car sinon je ne vois pas trop pourquoi le colleur pose cette question intermédiaire ?
[/quote]
En fait pour le polynôme caractéristique , je pense que la continuité est sans doute assurée par le fait que les coeffs du polynôme caractéristique sont des fonctions polynomiales donc continues des mij de la matrice.
Pour le polynôme minimal c’est moins explicite ! Donc vous avez sans doute raison (et en plus vous êtes prof donc vous avez certainement raison !)
En tout cas je trouve vicieux cette question sur la continuité du polynôme minimal , alors que pour l’exo j’ai l’impression qu’il suffit d’utiliser la continuité du polynôme caractéristique .
Philippe PATTE a écrit:
[quote=« Madec »]
[quote=« Philippe PATTE »]
[quote=« Madec »]
D’après la continuité de l’application qui à M → P son polynôme minimal, …
Elle n’est pas continue, je pense.
[/quote]
Bon alors j’espère que l’application qui à M —> Xsi son plynôme caractéristique l’est , car sinon je ne vois pas trop pourquoi le colleur pose cette question intermédiaire ?
[/quote]
Sûrement parce que le candidat a fait l’erreur.
Le pol min de la matrice A strictement triangualire sup dont les coeff au-dessus de la diagonale sont des 1 vaut X^n. Idem pour aA. Que se passe-t-il quand a tend vers 0 ?
[/quote]
nos messages se sont croisés.
vous avez raison il y a une belle discontinuité … X^n d’un coté pour le polynôme minimal de A et 0 pour celui de aA
Madec a écrit:
En fait pour le polynôme caractéristique , je pense que la continuité est sans doute assurée par le fait que les coeffs du polynôme caractéristique sont des fonctions polynomiales donc continues des mij de la matrice.
Oui.
il y a une belle discontinuité … X^n d’un coté pour le polynôme minimal de A et 0 pour celui de aA
Curieux. Le pol min de aA vaut X^n. aA tend vers 0 quand a tend vers 0. Et le pol min de 0 est X.
Pour répondre à vos interrogations, j’avais effectivement cherché à adapter la première question au polynôme minimal, et l’examinateur, sentant venir le passage à la limite, m’a demandé si l’application sus-citée était continue… Et il m’a fait effectivement trouver un contre-exemple (en dimension 2 → simple…).
Et en effet, en écrivant que le polynôme caractéristique de u $\chi_u(X)=det(u-Xid)$, par continuité du det, et du module, on obtient bien le résultat…
cnico a écrit:
Pour répondre à vos interrogations, j’avais effectivement cherché à adapter la première question au polynôme minimal, et l’examinateur, sentant venir le passage à la limite, m’a demandé si l’application sus-citée était continue… Et il m’a fait effectivement trouver un contre-exemple (en dimension 2 → simple…).
Et en effet, en écrivant que le polynôme caractéristique de u $\chi_u(X)=det(u-Xid)$, par continuité du det, et du module, on obtient bien le résultat…
OK Cnico merci d’avoir donné le contexte .
Ragoudvo a écrit:
Concours : ENS
Sujet :
1-Soit (k,x)\in\mathbb{N^{*}} * \mathbb{R})
Montrer que E{(\frac{E{(kx)}}{k}})=E{(x)}
2-Soit n\in\mathbb{N^{*}}.
Soit (x_k)_{k\geq 1} définie par :
x_0=n
x_{k+1}=E{(\frac{x_k+E{(\frac{n}{x_k}})}{2}})
a-Montrer que \forall k, x_k\geq E{(\sqrt{n})}
b-Montrer que x_k=x_{k+1} \Leftrightarrow x_k=sqrt{n}
J’ai eu exactement le même exo hier :S C’était aussi en salle R ? Moi, je suis passé à 11h. En tout cas, ma performance t’a mis en valeur étant donné que je suis resté bloqué à la 2-a)
Un indice ?
Erf… et moi je bloque à la première question…