Je me présente je suis en classe de MPSI et j’ai découvert ce forum il y’a peu de temps ! Je suis ravi d’être parmi vous.
Pour mon premier sujet je voudrais vous exposer un exercice d’analyse sur lequel je n’arrive pas à avancer:
On considère f une fonction C infini de R dans R tel que f(0) = 0 montrer que la fonction définie par pour tout x de R* g(x) = f(x)/x admet un prolongement par continuité C infini.
Voici ma démarche :
Je parviens a montrer que g admet un prolongement par continuité en mettant en évidence un taux d’accroissement, il me reste à montrer que ce prolongement est C infini.
Pour cela je voudrais utiliser la formule de leibniz et montrer que pour tout entier naturel n la fonction dérivée n ieme de g converge en 0 : c’est la ou je bloque car je n’arrive pas à montrer un tel résultat.
auriez-vous des pistes à me proposer ? je vous remercie d’avance
Édit : ne lis pas c’est FAUX (cf message de Calli)
Fixe un entier naturel n \in \mathbb{N}, écris le développement limité de f à l’ordre n+1 et cherche un théorème dans ton cours qui te permet de conclure que le prolongement de g est \mathcal{C}^n.
Le problème se pose en 0, car f est de classe C infini sur R* par quotient de telles fonctions.
Tu peux tenter une récurrence (en utilisant peut-être la formule de Leibniz) pour montrer que pour tout n dans N, g est de classe C^n, et donc comme c’est valable quelque soit n, alors g est C infini.
On considère f une fonction C infini de R dans R tel que f(0) = 0 montrer que la fonction définie par pour tout x de R* g(x) = f(x)/x admet un prolongement par continuité C infini.
Je conseille de partir de f(x)=\int_0^xf’(t)\mathrm{d}t puis de faire un changement de variable sur l’intégrale.
f(x)=x\int_0^1f’(sx)\mathrm{d}s
Fixe un entier naturel n \in \mathbb{N}, écris le développement limité de f à l’ordre n+1 et cherche un théorème dans ton cours qui te permet de conclure que le prolongement de g est \mathcal{C}^n.
Euh, attention. Ça n’est pas parce qu’une fonction possède partout un DL à tout ordre qu’elle est \mathcal C^\infty.
Pour inversion je ne sais pas si je peux procéder de ta manière car mon cours stipule bien qu’une fonction Cn admet un DLn mais la réciproque est fausse. Peut-être aurais-je mal compris ton indication ?
Pour lamdba mais pour montrer que pour tout n le prolongement de g est C infini il faudrait que je montre que la derivée n ième converge en 0 non ? (c’est le théorème de prolongement de classe Cn) mais je n’arrive pas à montrer un tel résultat, aurais tu une piste ?
enfin pour matmeca j’ai essayé de développer votre piste j’arrive au résultat suivant : pour tout n en notant f(n) la derivée n ieme de f on a f(n)(x)/x tends vers f(n+1)(0) en 0
mais à partir d’ici je vois pas comment développer cette hypothèse
[quote=« youennlg, post:1, topic:129889 »]
On considère f une fonction C infini de R dans R tel que f(0) = 0 montrer que la fonction définie par pour tout x de R* g(x) = f(x)/x admet un prolongement par continuité C infini.
Je conseille de partir de f(x)=\int_0^xf’(t)\mathrm{d}t puis de faire un changement de variable sur l’intégrale.
f(x)=x\int_0^1f’(sx)\mathrm{d}s
[/quote]
En sup c’est compliqué d’utiliser cette indication.
De mémoire Leibniz + un Taylor Lagrange qui va bien permet de vérifier que la dérivée n-ième de g admet une limite finie en 0.
en faisant un petit travail au brouillon en considérant le DL de f(x)/x je me rends compte que nécessairement j’aurait g(n)(x) tend vers f(n+1)(0)/n+1 en 0 mais impossible de montrer à mon stade. Le montrer par Leibniz me semble très difficile, j’ai tenté une récurrence mais cela n’a rien donné
en faisant un petit travail au brouillon en considérant le DL de f(x)/x je me rends compte que nécessairement j’aurait g(n)(x) tend vers f(n+1)(0)/n+1 en 0 mais impossible de montrer à mon stade. Le montrer par Leibniz me semble très difficile, j’ai tenté une récurrence mais cela n’a rien donné
Non, ce n’est pas « très difficile ». Par contre, faut se lancer dans les calculs.
Essaye pour t’échauffer de traiter le cas n=2 en utilisant intelligemment Taylor-Lagrange.
Je propose d’appliquer Leibniz à f\colon x\mapsto xg(x) où g(x)=f(x)/x, pour x\in \rbrack0,+\infty\lbrack. Il y aura moins de termes dans le calcul de la dérivée nième et on pourra procéder par récurrrence avec moins de calcul que si on appliquait Leibniz directement à g\colon x\mapsto f(x)/x.
Initialisation : un simple DL de g permet de conclure
Hérédité : Soit n non nul tel que Hn-1 vraie montrons que Hn vraie
f(n)(x) = n*g(n-1)(x) + g(n)(x)*x (Leibniz)
d’où g(n)(x) = f(n)(x)/x - n*g(n-1)(x)/x
là je m’en sortir grâce à un DL à l’orde 1 de g(n) que j’ai par hypothèse de récurrence et de f(n) car elle est Cn
ici je n’ai qu’un DL à l’ordre 0 de g(n) ce qui me suffit pour conclure mon exercice mais pas ma récurrence. Ai-je le droit de m’arrêter la ? En effet si je pousse pas mon DL à l’ordre 1 je ne m’en sors pas dans mon hérédité où j’ai un x au dénominateur.
Je vous remercie sincèrement pour votre aide et votre patience avec moi
Avec un DL à l’ordre 3 de f , 2 de f’ et 1 f’’ j’arrive effectivement à g’‹ (x) = f ›‹ ›(0)/3 + o(1)
j’essaye de généraliser : deux solutions :
Une récurrence : je tente mais je n’aboutis pas
Ou directement en utilisant Leibniz sur g(n) avec une formule explicite de la dérivée k ième de 1/x et en se « lançant » dans les calculs comme vous le dites.
Pour la recurrence j’avoue que je vois pas très bien le prédicat à poser.
Tu peux faire le DL comme un bourrin, ça va marcher.
Ou alors utiliser astucieusement Taylor Lagrange.
Si tu choisis Taylor Lagrange, regarde d’abord le cas n=2
en considérant la valeur absolue de g’‹ (x) - f ›‹ ›(x)/3 je peux en effet la majorer grâce à un Taylor Lagrange par M*x/12 je conclus donc par encadrement que g’‹ (x) - f ›‹ ›(x)/3 tend vers 0 en 0 puis il est facile de conclure que g’‹ (x) tend vers f ›‹ ›(0)/3 en 0
la généralisation est ensuite beaucoup plus simple qu’avec un DL bourrin (avec une formule explicite de la dérivée k-ième de 1/x) ! Merci beaucoup !
Pouvez-vous confirmer l’exactitude de mon raisonnement ?
