Bonjour,
J’ai conjecturé et démontré le théorème suivant aujourd’hui au détour de quelques manipulations sur les fonctions à croissance rapide.
**Théorème
Soit f une fonction de classe C2 de IR dans IR.
On suppose
(1) xf’ tend vers +oo en +oo
(2) f’‹ /f ›* (Intégrale_entre_1_et_x (e^(f(t)-f(x)) dt) tend vers 0 en +oo
Alors Intégrale_entre_1_et_x (e^(f(t) dt ) est équivalente en +oo à exp(f(t))/f’(t)
En particulier, si
(3) f’ est minorée par une constante strictement positive au voisinage de +oo, et si
(4) au voisinage de +oo, f’‹ =O(f ›/t),
alors (2) est automatiquement vérifiée.
**
*Corollaire
Si on pose f=ln(g) et que f vérifie les conditions ci-dessus, alors g est équivalente au voisinage de +oo à la moyenne géométrique de sa dérivée et d’une quelconque de ses primitives.*
Je rédigerai proprement la preuve en LateX dans les jours qui suivent, ainsi que les cas particuliers qui m’ont amené à cette conjecture puis à sa démonstration. En attendant, bon courage à ceux qui aimeraient essayer 
Tu es gentil, mais c’est un exo des Cassini.
Oui je ne prétends pas être le premier à l’avoir démontré, loin de là. Quel est le numéro du recueil ?
(Par contre, ça m’étonnerait beaucoup qu’il figure exactement sous cette forme-là. On peut à mon avis encore affaiblir un peu (mais pas beaucoup) mes hypothèses.)
(Ton commentaire sent un peu le troll donc j’aimerais vérifier)
Non non, pas de problème; j’ai menti.
Mais je maintiens que les Cassini sont de super bouquins.
Dans ce cas, serait-ce trop te demander de ne pas salir mon topic avec du contenu non mathématique, rien que pour essayer de revendre des Cassini (c’est évident au vu de tes autres topics) ?
Etant donné qu’il sera impossible d’avoir une discussion mathématique de qualité sur ce topic, est-ce qu’un admin peut supprimer le topic ? (J’en referai un autre avec une introduction identique)
Je suis d’accord, il faut arrêter de le troller systématiquement à chaque topic qu’il ouvre.
La guerre des trolls n’aura pas lieu.
The TJFK a écrit:
Bonjour,
J’ai conjecturé et démontré le théorème suivant aujourd’hui au détour de quelques manipulations sur les fonctions à croissance rapide.
**Théorème
Soit f une fonction de classe C2 de IR dans IR.
On suppose
(1) xf’ tend vers +oo en +oo
(2) f’‹ /f ›* (Intégrale_entre_1_et_x (e^(f(t)-f(x)) dt) tend vers 0 en +oo
Alors Intégrale_entre_1_et_x (e^(f(t) dt ) est équivalente en +oo à exp(f(t))/f’(t)
En particulier, si
(3) f’ est minorée par une constante strictement positive au voisinage de +oo, et si
(4) au voisinage de +oo, f’‹ =O(f ›/t),
alors (2) est automatiquement vérifiée.
**
*Corollaire
Si on pose g=ln(f) et que f vérifie les conditions ci-dessus, alors g est équivalente au voisinage de +oo à la moyenne géométrique de sa dérivée et d’une quelconque de ses primitives.*
Je rédigerai proprement la preuve en LateX dans les jours qui suivent, ainsi que les cas particuliers qui m’ont amené à cette conjecture puis à sa démonstration. En attendant, bon courage à ceux qui aimeraient essayer
Essaye d’écrire au moins l’énoncé proprement 
Et c’est bien x et non t dans le résultat, sinon ça n’a aucun sens.
Et j’ai bien l’impression que le résultat reste correct si on prend 0 et non 1 dans la définition.
Oui pardon, c’est bien x et non t, j’étais déconcentré.
Oui la première borne de l’intégrale n’a aucune importance, on peut la remplacer par un réel quelconque…
Je préfère 0, ça sonne mieux avec le x qui est au-dessus, m’enfin c’est de la cosmétique.
Juste pour savoir, ça s’appliquerait à quels genres de fonctions ?
Celles dont f' = o(f") ? (Tu parles de croissance rapide, j’ai pas bien regardé encore.)
La toute première fonction qui m’a guidé sur ce chemin est f:x–>x^2 et donc g(x)=e^(x^2)
Ce que j’appelle intuitivement croissance rapide, c’est une fonction dont le quotient par tout monôme tend vers +oo en +oo
J’ai tapé en LateX les premiers 10% du fichier. Cela pourrait vous donner une intuition de la preuve générale.
(Pour lire le fichier, retirer le « .zip » dans le nom du fichier.)
Edit: Il y a une impropreté vers le début: C’est « l’intégrale de l’inverse de la dérivée de la fonction d’erreur », non « l’inverse de la fonction d’erreur ». (Mais ça n’a aucune importance pour la démonstration)
« Type d’archive non supporté », même en renommant l’archive. D’ailleurs quand je la télécharge le .zip disparait tout seul.
Ce n’est pas une archive, c’est un fichier pdf auquel j’ai ajouté une extension .zip car le serveur de prépas.org ne permet pas d’uploader des fichiers avec l’extension .pdf
(Donc ne pas chercher à la décompresser)
Au fait est-ce qu’un mathématicien sur ce forum pourrait confirmer que le résultat final a déjà été démontré et m’envoyer un lien vers la démonstration utilisée pour que je voie s’il y a un chemin plus court que ce j’ai fait ?
Haha, demande à JeanN 
Je ne pourrais pas regarder ça d’ici la semaine prochaine, voire deux semaines, de toute façon je ne suis pas sûr de comprendre.
J’ai réfléchi encore un peu, et en modifiant très légèrement l’hypothèse 2 on obtient une expression simple du développement asymptotique à tout ordre.
Il parait que chaque année, il y a des milliers de nouveaux théorèmes qui sont découverts par la communauté mondiale des mathématiciens (je me suis peut-être trompé dans l’ordre de grandeur : peut-être dizaine de milliers, voire centaines de milliers). Source : une conférence Next Einstein AIMS * à l’Unesco.