Spectre d'une matrice tridiagonale simple

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . On considère la matrice $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ définie par :

m_{i,j} = \begin{cases} 1 & \text{si } |i-j|=1 0 & \text{sinon} \end{cases}

On souhaite déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de

M

par une méthode n'utilisant pas le déterminant.

Soit $X = \begin{pmatrix} x_1 \vdots x_n \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ un vecteur non nul. On pose par convention $x_0 = 0$ et $x_{n+1} = 0$ . Montrer que $X$ est un vecteur propre de $M$ associé à la valeur propre $\lambda$ si et seulement si la suite $(x_k)_{0 \le k \le n+1}$ vérifie une relation de récurrence linéaire d'ordre 2 que l'on précisera.
On suppose dans cette question que $\lambda^2 \neq 4$ $λ^{2} \neq = 4$ . Soit $u$ $u$ et $v$ $v$ les deux racines distinctes de l'équation caractéristique associée à la récurrence précédente.
1. Exprimer le terme général $x_k$ en fonction de $u^k$ et $v^k$ en tenant compte de la condition $x_0 = 0$ .
2. À l'aide de la condition $x_{n+1} = 0$ , montrer que $\lambda$ est valeur propre si et seulement si il existe $k \in \{1, \dots, n\}$ tel que $\lambda = 2 \cos\left(\frac{k\pi}{n+1}\right)$ .
Étudier le cas $\lambda^2 = 4$ . La matrice $M$ possède-t-elle des valeurs propres égales à $2$ ou $-2$ ?
Conclure en donnant le spectre de $M$ et les espaces propres associés.

1.

Écrire explicitement la relation $MX = \lambda X$ ligne par ligne pour identifier la récurrence.

2.

La relation $x_{k+1} - \lambda x_k + x_{k-1} = 0$ a pour équation caractéristique $r^2 - \lambda r + 1 = 0$ .

3.

Pour la condition $x_{n+1}=0$ , utiliser le fait que $uv = 1$ et poser $u = e^{i\theta}$ .

4.

Pour $\lambda = \pm 2$ , la forme de la suite récurrente change (racine double).

Idées clés

•

Traduction d'un problème d'algèbre linéaire en un problème de suites récurrentes.

•

Utilisation des conditions aux limites ( $x_0$ et $x_{n+1}$ ) pour restreindre les valeurs de $\lambda$ .

•

Résolution de l'équation $u^{2(n+1)} = 1$ dans le cercle unité.

Résolution.

Soit $X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}) \setminus \{0\}$ . L'équation $MX = \lambda X$ se traduit par le système : $\begin{cases} x_2 = \lambda x_1 x_{k-1} + x_{k+1} = \lambda x_k & \text{pour } k \in \{2, \dots, n-1\} x_{n-1} = \lambda x_n \end{cases}$ En introduisant $x_0 = 0$ et $x_{n+1} = 0$ , ce système est exactement équivalent à la relation de récurrence unique : $\forall k \in \{1, \dots, n\}, x_{k+1} - \lambda x_k + x_{k-1} = 0$ Il s'agit d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2 à coefficients constants, dont l'équation caractéristique est : $\boxed{r^2 - \lambda r + 1 = 0}$
On suppose $\lambda^2 \neq 4$ $λ^{2} \neq = 4$ . Le discriminant $\Delta = \lambda^2 - 4$ $Δ = λ^{2} - 4$ est non nul.
1. Soient $u$ et $v$ les deux racines distinctes. La théorie des suites récurrentes assure l'existence de $(\alpha, \beta) \in \mathbb{C}^2$ tels que pour tout $k$ , $x_k = \alpha u^k + \beta v^k$ . La condition $x_0 = 0$ impose $\alpha + \beta = 0$ , d'où $\beta = -\alpha$ . Ainsi, pour tout $k \in \{0, \dots, n+1\}$ : $\boxed{x_k = \alpha(u^k - v^k)}$ Comme $X \neq 0$ , on doit avoir $\alpha \neq 0$ .
2. La condition $x_{n+1} = 0$ devient $u^{n+1} - v^{n+1} = 0$ , soit $u^{n+1} = v^{n+1}$ . Puisque $uv = 1$ (produit des racines), on a $v = 1/u$ . L'équation devient $u^{n+1} = u^{-(n+1)}$ , soit $u^{2(n+1)} = 1$ . Ainsi, $u$ est une racine $2(n+1)$ -ième de l'unité : $u = e^{i\frac{2k\pi}{2(n+1)}} = e^{i\frac{k\pi}{n+1}}$ avec $k \in \{0, \dots, 2n+1\}$ . Puisque $\lambda = u + v = u + \frac{1}{u}$ , on obtient : $\lambda = e^{i\frac{k\pi}{n+1}} + e^{-i\frac{k\pi}{n+1}} = 2 \cos\left(\frac{k\pi}{n+1}\right)$ Les valeurs $k=0$ et $k=n+1$ correspondent à $\lambda = 2$ et $\lambda = -2$ , ce qui est exclu ici ( $\lambda^2 \neq 4$ ). Pour que les $n$ valeurs de $\lambda$ soient distinctes, on prend $k \in \{1, \dots, n\}$ .
Si $\lambda = 2$ , l'équation caractéristique $(r-1)^2 = 0$ admet $1$ pour racine double. Alors $x_k = Ak+B$ . Avec $x_0 = 0$ , on a $B=0$ . Avec $x_{n+1} = 0$ , on a $A(n+1) = 0$ , d'où $A=0$ . Le vecteur $X$ est nul, donc $\lambda=2$ n'est pas valeur propre. Le raisonnement est identique pour $\lambda = -2$ (racine double $-1$ ).
La matrice $M$ est symétrique réelle, donc diagonalisable. On a trouvé $n$ valeurs propres distinctes : $\boxed{\text{Sp}(M) = \left\{ 2 \cos\left(\frac{k\pi}{n+1}\right) \mid k \in \{1, \dots, n\} \right\}}$ Pour chaque $\lambda_k$ , le sous-espace propre est une droite engendrée par $X_k = (x_j)_{1 \le j \le n}$ où : $\boxed{x_j = \sin\left(\frac{jk\pi}{n+1}\right)}$ (obtenu par $x_j = \alpha(u^j - u^{-j}) = 2i\alpha \sin(j\theta)$ ).

Ne pas oublier d'exclure les cas où $\alpha=0$ ou $u=v$ , car ils conduisent au vecteur nul, qui par définition n'est pas un vecteur propre.