Réduction d'un opérateur différentiel polynomial

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . On considère l'espace vectoriel $E = \mathbb{R}_n[X]$ des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à $n$ . On définit l'application $u$ sur $E$ par :

\forall P \in E,   u(P) = (1-X^2)P' + nXP

Justifier que $u$ définit un endomorphisme de $E$ .
Déterminer les valeurs propres de $u$ .
L'endomorphisme $u$ est-il diagonalisable ? Préciser les sous-espaces propres associés.

1.

Pour la stabilité, calculer l'image de la base canonique ou examiner le degré du terme de plus haut degré.

2.

Pour rechercher les éléments propres, résoudre l'équation différentielle $(1-x^2)y' + (nx - \lambda)y = 0$ sur des intervalles bien choisis.

3.

Un polynôme est une solution de cette équation différentielle qui ne doit pas présenter de singularités aux points $\pm 1$ . Cela impose des conditions sur les exposants.

Idées clés

•

Vérification de la stabilité de $\mathbb{R}_n[X]$ par compensation des degrés.

•

Traduction du problème spectral en une équation différentielle linéaire du premier ordre.

•

Utilisation de la condition polynomiale (exposants entiers naturels) pour restreindre le spectre.

1. Étude de la stabilité.

L'application $u$ est clairement linéaire par linéarité de la dérivation et de la multiplication par un polynôme. Soit $P \in \mathbb{R}_n[X]$ . Si $P=0$ , alors $u(P)=0 \in E$ . Si $P \neq 0$ , notons $d = \deg(P) \le n$ . Le terme de plus haut degré de $(1-X^2)P'$ est $-X^2(d \cdot \text{dom}(P)X^{d-1}) = -d \cdot \text{dom}(P)X^{d+1}$ . Celui de $nXP$ est $n \cdot \text{dom}(P)X^{d+1}$ .

En sommant, le coefficient de $X^{d+1}$ dans $u(P)$ est $(n-d) \cdot \text{dom}(P)$ .

Si $d < n$ , alors $\deg(u(P)) \le d+1 \le n$ .
Si $d = n$ , le coefficient de $X^{n+1}$ s'annule, donc $\deg(u(P)) \le n$ .

Dans tous les cas, $u(P) \in \mathbb{R}_n[X]$ . Ainsi :

\boxed{u \in \mathcal{L}(\mathbb{R}_n[X])}

2. Recherche des valeurs propres.

Soit $\lambda \in \mathbb{R}$ et $P \in \mathbb{R}_n[X] \setminus \{0\}$ tels que $u(P) = \lambda P$ . Sur l'intervalle $I = ]-1, 1[$ , l'équation s'écrit :

(1-x^2)P'(x) + (nx - \lambda)P(x) = 0 \iff P'(x) = \frac{\lambda - nx}{1-x^2} P(x)

Décomposons la fraction rationnelle en éléments simples :

\frac{\lambda - nx}{1-x^2} = \frac{\lambda - nx}{(1-x)(1+x)} = \frac{A}{1-x} + \frac{B}{1+x}

Par identification ou évaluation, on trouve $A = \frac{\lambda - n}{2}$ et $B = \frac{\lambda + n}{2}$ . Les solutions de l'équation différentielle sur $I$ sont de la forme :

P(x) = C \exp\left( \int \left( \frac{A}{1-x} + \frac{B}{1+x} \right) dx \right) = C \exp\left( -A \ln(1-x) + B \ln(1+x) \right)

D'où $P(x) = C (1-x)^{-A} (1+x)^B$ . Pour que $P$ soit un polynôme sur $\mathbb{R}$ , il est nécessaire que les exposants $-A$ et $B$ soient des entiers naturels. Posons $k = B = \frac{n+\lambda}{2}$ . Alors $-A = n - \frac{n+\lambda}{2} = n - k$ .

On doit donc avoir $k \in \mathbb{N}$ et $n-k \in \mathbb{N}$ , ce qui impose $k \in \{0, 1, \dots, n\}$ . La valeur propre associée est alors $\lambda = 2k - n$ .

Les valeurs propres possibles sont donc :

\boxed{ \text{Sp}(u) = \{ 2k - n \mid k \in \{0, \dots, n\} \} = \{ -n, -n+2, \dots, n-2, n \} }

3. Diagonalisabilité et vecteurs propres.

Nous avons trouvé $n+1$ valeurs propres distinctes (car l'application $k \mapsto 2k-n$ est strictement croissante). Comme $\dim(E) = n+1$ , l'endomorphisme $u$ possède $n+1$ valeurs propres simples.

\boxed{u \text{ est diagonalisable.}}

Pour chaque $k \in \{0, \dots, n\}$ , le sous-espace propre associé $E_{\lambda_k}(u)$ est la droite vectorielle :

\boxed{ E_{2k-n}(u) = \text{Vect}\left( (1-X)^{n-k}(1+X)^k \right) }

Une erreur classique est d'oublier de vérifier la stabilité de $\mathbb{R}_n[X]$ . Sans cette vérification, on ne peut pas affirmer que $u$ est un endomorphisme. La compensation des degrés pour $d=n$ est le point technique crucial ici.