Polynôme caractéristique de $AB$ et $BA$

Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ où $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ . L'objectif est d'établir que les matrices $AB$ et $BA$ possèdent le même polynôme caractéristique, c'est-à-dire que $\chi_{AB} = \chi_{BA}$ .

Cas où $A$ est inversible Montrer que les matrices $AB$ et $BA$ sont semblables. En déduire que $\chi_{AB} = \chi_{BA}$ .
Cas général
1. Justifier qu'il existe un réel $\alpha > 0$ tel que, pour tout $t \in ]0, \alpha[$ , la matrice $A + tI_n$ soit inversible.
2. Soit $\lambda \in \mathbb{K}$ fixé. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(t) = \det((A + tI_n)B - \lambda I_n)$ Montrer que $f$ est une fonction polynomiale en $t$ .
3. Conclure que les polynômes $\chi_{AB}$ et $\chi_{BA}$ sont égaux.

1.

Pour la question 1, utiliser la relation $AB = A(BA)A^{-1}$ .

2.

Pour la question 2.(a), remarquer que $A+tI_n$ est non inversible si et seulement si $-t$ est une valeur propre de $A$ .

3.

Pour la question 2.(b), se rappeler que le déterminant est une expression polynomiale des coefficients de la matrice.

4.

Pour la conclusion, utiliser la continuité des fonctions polynomiales ou l'unicité du prolongement des relations polynomiales.

Idées clés

•

Utilisation de la similitude pour le cas inversible.

•

Argument de "densité" ou de perturbation : une matrice quelconque est limite de matrices inversibles.

•

Propriété polynomiale du déterminant pour justifier la continuité.

Résolution.

Supposons que $A \in GL_n(\mathbb{K})$ . On peut alors écrire la relation suivante : $AB = A(BA)A^{-1}$
Cette égalité montre que les matrices $AB$ et $BA$ sont semblables. Or, deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique. On en déduit :
$\boxed{\chi_{AB} = \chi_{BA}}$
Passons au cas où $A$ $A$ n'est pas nécessairement inversible.
1. La matrice $A + tI_n$ est non inversible si et seulement si $\det(A + tI_n) = 0$ . Or, $\det(A + tI_n) = 0$ équivaut à dire que $-t$ est une valeur propre de $A$ . Comme la matrice $A$ possède au plus $n$ valeurs propres distinctes, l'ensemble : $\text{Sp}(A) = \{ \mu \in \mathbb{K} \mid \det(A - \mu I_n) = 0 \}$ est fini. Par conséquent, il n'existe qu'un nombre fini de valeurs de $t$ telles que $A + tI_n$ ne soit pas inversible. En choisissant $\alpha$ plus petit que la plus petite valeur absolue des valeurs propres non nulles de $A$ , on assure que pour tout $t \in ]0, \alpha[$ , $-t$ n'est pas valeur propre. $\boxed{\forall t \in ]0, \alpha[, A + tI_n \in GL_n(\mathbb{K})}$
2. Soit $\lambda \in \mathbb{K}$ . Posons $M(t) = (A + tI_n)B - \lambda I_n$ . Chaque coefficient de la matrice $M(t)$ est une fonction polynomiale de degré au plus 1 en $t$ . Par définition, le déterminant est une somme de produits des coefficients de la matrice (formule de Leibniz). Ainsi, $f(t) = \det(M(t))$ est une somme de produits de polynômes en $t$ , ce qui prouve que : $\boxed{f \text{ est une fonction polynomiale en } t}$
3. Posons également $g(t) = \det(B(A + tI_n) - \lambda I_n)$ . Par le même raisonnement, $g$ est une fonction polynomiale en $t$ . D'après la question 1, puisque $A+tI_n$ est inversible pour tout $t \in ]0, \alpha[$ , on a : $\forall t \in ]0, \alpha[, \det((A + tI_n)B - \lambda I_n) = \det(B(A + tI_n) - \lambda I_n)$ Soit encore : $\forall t \in ]0, \alpha[, f(t) = g(t)$ Deux fonctions polynomiales qui coïncident sur un intervalle de longueur non nulle sont identiques sur $\mathbb{R}$ . En particulier, pour $t=0$ : $f(0) = g(0)$ Ce qui se traduit par : $\det(AB - \lambda I_n) = \det(BA - \lambda I_n)$ Comme cette égalité est vraie pour tout $\lambda \in \mathbb{K}$ , les deux polynômes caractéristiques ont les mêmes valeurs en tout point. Sur un corps infini ( $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ), cela impose l'égalité des polynômes : $\boxed{\chi_{AB} = \chi_{BA}}$

Attention à ne pas dire que $AB$ et $BA$ sont toujours semblables. C'est faux en général si $A$ et $B$ ne sont pas inversibles (par exemple $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 0 & 0 \end{pmatrix}$ ). Seul le polynôme caractéristique est identique.