Polynômes caractéristiques et entrelacement

Soient $A, B$ et $C$ trois matrices de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ telles que $A C=C B$ . On suppose que $A$ et $B$ ont le même polynôme caractéristique, noté $\chi_A = \chi_B$ .

Montrer que pour toute matrice $M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ , les matrices $A-C M$ et $B-M C$ possèdent le même polynôme caractéristique.

1.

Commencer par établir une relation entre $(\lambda I - A)^{-1}C$ et $C(\lambda I - B)^{-1}$ pour $\lambda$ n'appartenant pas au spectre de $A$ .

2.

Utiliser l'identité $\det(I_n - XY) = \det(I_n - YX)$ valable pour toutes matrices $X, Y \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ .

3.

Exprimer $\chi_{A-CM}(\lambda)$ en factorisant par $(\lambda I - A)$ et utiliser la relation d'entrelacement.

4.

Conclure sur l'égalité des polynômes en utilisant un argument de continuité ou le fait qu'ils coïncident sur un ensemble infini.

Idées clés

•

Manipulation de la relation d'entrelacement $AC=CB$ .

•

Propriété de commutativité du déterminant : $\det(I+XY) = \det(I+YX)$ .

•

Utilisation des compléments de Schur ou factorisation matricielle.

1. Étude pour $\lambda$ hors du spectre.

Soit $\lambda \in \mathbb{C}$ tel que $\lambda$ ne soit pas une valeur propre de $A$ . Puisque $\chi_A = \chi_B$ , $\lambda$ n'est pas non plus une valeur propre de $B$ .

Ainsi, les matrices $(\lambda I - A)$ et $(\lambda I - B)$ sont inversibles.

Partons de la relation $AC = CB$ . On peut écrire :

(\lambda I - A)C = \lambda C - AC = \lambda C - CB = C(\lambda I - B)

En multipliant à gauche par $(\lambda I - A)^{-1}$ et à droite par $(\lambda I - B)^{-1}$ , on obtient l'égalité fondamentale :

\boxed{ C(\lambda I - B)^{-1} = (\lambda I - A)^{-1}C }

2. Expression du polynôme caractéristique de $A-CM$ .

On cherche à calculer $P_1(\lambda) = \det(\lambda I - (A - CM)) = \det((\lambda I - A) + CM)$ .

En factorisant par la matrice inversible $(\lambda I - A)$ , on a :

P_1(\lambda) = \det\left( (\lambda I - A) \left[ I + (\lambda I - A)^{-1}CM \right] \right)

P_1(\lambda) = \det(\lambda I - A) \times \det(I + (\lambda I - A)^{-1}CM)

3. Utilisation de la propriété du déterminant.

On utilise l'identité classique $\det(I+XY) = \det(I+YX)$ . Ici, on pose $X = (\lambda I - A)^{-1}C$ et $Y = M$ . Il vient :

\det(I + (\lambda I - A)^{-1}CM) = \det(I + M(\lambda I - A)^{-1}C)

En injectant la relation d'entrelacement établie à l'étape 1, on remplace $(\lambda I - A)^{-1}C$ par $C(\lambda I - B)^{-1}$ :

\det(I + M(\lambda I - A)^{-1}C) = \det(I + MC(\lambda I - B)^{-1})

4. Expression du polynôme caractéristique de $B-MC$ .

Appliquons à nouveau l'identité $\det(I+UV) = \det(I+VU)$ avec $U=MC$ et $V=(\lambda I - B)^{-1}$ :

\det(I + MC(\lambda I - B)^{-1}) = \det(I + (\lambda I - B)^{-1}MC)

En revenant à l'expression globale et en utilisant $\chi_A(\lambda) = \chi_B(\lambda)$ : \begin{align*} P_1(\lambda) &= \chi_A(\lambda) \times \det(I + (\lambda I - B)^{-1}MC)
&= \det(\lambda I - B) \times \det(I + (\lambda I - B)^{-1}MC)
&= \det\left( (\lambda I - B) \left[ I + (\lambda I - B)^{-1}MC \right] \right)
&= \det(\lambda I - B + MC) \end{align*}

On reconnaît l'expression du polynôme caractéristique de $B-MC$ :

\boxed{ \chi_{A-CM}(\lambda) = \chi_{B-MC}(\lambda) }

5. Conclusion.

L'égalité $\chi_{A-CM}(\lambda) = \chi_{B-MC}(\lambda)$ est établie pour tout $\lambda \in \mathbb{C} \setminus Sp(A)$ .

Comme $Sp(A)$ est un ensemble fini, les deux polynômes coïncident sur un ensemble infini de points. Par rigidité des polynômes, on en déduit :

\boxed{ \chi_{A-CM} = \chi_{B-MC} }

Une erreur fréquente consiste à vouloir utiliser la densité de $GL_n(\mathbb{C})$ sur la matrice $C$ . Cependant, si l'on remplace $C$ par une suite $(C_k)$ de matrices inversibles, rien ne garantit que la relation $AC_k = C_kB$ reste vraie pour $k$ assez grand, sauf si $A$ et $B$ sont semblables. L'argument de la variable $\lambda$ est ici beaucoup plus robuste.