Étude spectrale d'une matrice compagnon positive

Résolution.

1. Calculons $\chi_A(X) = \det(XI_n - A)$. En développant par rapport à la première colonne, on obtient :
   $$\chi_A(X) = (X-a_1) X^{n-1} - a_2 (-1)^{2+1} \Delta_{2,1} + a_3 (-1)^{3+1} \Delta_{3,1} + \dots + (-1)^{n+1} (-a_n) \Delta_{n,1}$$
   Où chaque mineur $\Delta_{k,1}$ est le déterminant d'une matrice triangulaire supérieure dont la diagonale comporte $(k-2)$ fois le terme $(-1)$ et $(n-k)$ fois le terme $X$. Après calcul des signes et des puissances, on obtient la forme classique :
   $$\boxed{\chi_A(X) = X^n - a_1 X^{n-1} - a_2 X^{n-2} - \dots - a_n}$$

2. Cherchons les racines de $\chi_A$ sur $]0, +\infty[$. Pour $x > 0$, $\chi_A(x) = 0$ équivaut à :
   $$1 = \frac{a_1}{x} + \frac{a_2}{x^2} + \dots + \frac{a_n}{x^n}$$
   Considérons la fonction $f : x \mapsto \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{x^k}$ sur $]0, +\infty[$. La fonction $f$ est strictement décroissante comme somme de fonctions strictement décroissantes (car $a_k \geqslant 0$ et $a_n > 0$). De plus, $\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires et la stricte monotonie, il existe un unique $r \in ]0, +\infty[$ tel que $f(r) = 1$.
   $$\boxed{\text{Il existe une unique valeur propre } r > 0}$$

3. Soit $M = \max_{1 \leqslant i \leqslant n} (a_i)$. Si $r \leqslant 1$, la majoration $r < 1+M$ est immédiate car $M \geqslant a_1 > 0$. Supposons $r > 1$. De l'égalité $1 = \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{r^k}$, on tire :
   $$1 \leqslant M \sum_{k=1}^n \frac{1}{r^k} < M \sum_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{r}\right)^k = M \frac{1/r}{1 - 1/r} = \frac{M}{r-1}$$
   On en déduit $r-1 < M$, soit $r < 1+M$.
   $$\boxed{r < 1 + \max(a_i)}$$

4. 1. Soit $\lambda \in \mathbb{C}$ une valeur propre. On a $\lambda^n = \sum_{k=1}^n a_k \lambda^{n-k}$. Par inégalité triangulaire :
      $$|\lambda|^n \leqslant \sum_{k=1}^n a_k |\lambda|^{n-k}$$
      En divisant par $|\lambda|^n$ (si $\lambda \neq 0$, sinon le résultat est trivial), on a $1 \leqslant \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{|\lambda|^k} = f(|\lambda|)$. Comme $f$ est strictement décroissante et $f(r)=1$, on en déduit :
      $$\boxed{|\lambda| \leqslant r}$$

   2. Si $|\lambda| = r$, l'inégalité précédente devient une égalité. Cela implique que dans l'inégalité triangulaire :
      $$\left| \sum_{k=1}^n a_k \lambda^{n-k} \right| = \sum_{k=1}^n |a_k \lambda^{n-k}|$$
      Tous les complexes non nuls de la somme doivent avoir le même argument. En particulier, comme $a_n > 0$, le terme $a_n \lambda^0 = a_n$ est réel positif, donc son argument est $0 \pmod{2\pi}$. Ainsi, pour tout $k$ tel que $a_k > 0$, on doit avoir $\text{arg}(\lambda^{n-k}) \equiv 0 \pmod{2\pi}$. Comme $a_1 > 0$, on a $\text{arg}(\lambda^{n-1}) \equiv 0$ et comme $a_n > 0$, $\text{arg}(\lambda^n) = \text{arg}(\sum a_k \lambda^{n-k}) = 0$. On en tire $(n-1)\theta \equiv 0$ et $n\theta \equiv 0$ avec $\theta = \text{arg}(\lambda)$. Par différence, $\theta \equiv 0 \pmod{2\pi}$. Comme $|\lambda|=r$, on a bien $\boxed{\lambda = r}$.

5. Soit $(e_1, \dots, e_n)$ la base canonique. L'action de $A$ est : $Ae_1 = \sum a_i e_i$ et $Ae_j = e_{j-1}$ pour $j \geqslant 2$. On remarque que $e_n \xrightarrow{A} e_{n-1} \xrightarrow{A} \dots \xrightarrow{A} e_1 \xrightarrow{A} \sum a_i e_i$. Comme $a_n > 0$, il existe un chemin de $e_1$ vers $e_n$, donc le graphe est fortement connexe. L'existence de $a_1 > 0$ crée une boucle sur le sommet $1$ (cycle de longueur 1). D'après un résultat classique sur les matrices primitives (ou en examinant les puissances de $A$), il existe $k$ tel que $A^k$ n'ait que des coefficients strictement positifs.