Localisation des racines d'un polynôme

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $P$ un polynôme complexe de la forme :

P = X^n - \sum_{k=0}^{n-1} a_k X^k \in \mathbb{C}[X]

En exploitant les propriétés de la matrice compagnon associée au polynôme

P

, établir que toute racine

\lambda

de

P

vérifie l'inégalité suivante :

|\lambda| \leq \max \left( |a_0|, 1+|a_1|, \dots, 1+|a_{n-1}| \right)

1.

Rappeler la structure de la matrice compagnon $C \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ dont le polynôme caractéristique est $P$ .

2.

Utiliser le fait que les racines de $P$ coïncident avec le spectre de $C$ .

3.

Considérer un vecteur propre $X = (x_1, \dots, x_n)^T$ associé à une valeur propre $\lambda$ et étudier la relation $CX = \lambda X$ en examinant une composante de $X$ de module maximal.

Idées clés

•

Lien entre racines d'un polynôme et valeurs propres de sa matrice compagnon.

•

Utilisation de la norme infinie d'un vecteur propre pour borner la valeur propre associée.

1. Construction de la matrice compagnon.

Considérons la matrice compagnon $C \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ définie par :

C = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \dots & 0 & a_0 1 & 0 & \dots & 0 & a_1 0 & 1 & \dots & 0 & a_2 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots 0 & 0 & \dots & 1 & a_{n-1} \end{pmatrix}

Par un développement classique (par exemple par rapport à la dernière colonne ou par récurrence), on montre que le polynôme caractéristique de cette matrice est :

\chi_C(X) = \det(XI_n - C) = X^n - a_{n-1}X^{n-1} - \dots - a_1 X - a_0 = P(X)

Ainsi, l'ensemble des racines du polynôme $P$ est exactement le spectre de la matrice $C$ .

\boxed{\text{Sp}(C) = \{ \lambda \in \mathbb{C} \mid P(\lambda) = 0 \}}

2. Exploitation de la relation propre.

Soit $\lambda$ une racine de $P$ , donc une valeur propre de $C$ . Il existe un vecteur propre $X = (x_1, \dots, x_n)^T \in \mathbb{C}^n$ non nul tel que $CX = \lambda X$ .

Ce système s'écrit explicitement sous la forme :

\begin{cases} a_0 x_n = \lambda x_1 x_1 + a_1 x_n = \lambda x_2 x_2 + a_2 x_n = \lambda x_3 \vdots x_{n-1} + a_{n-1} x_n = \lambda x_n \end{cases}

Considérons une composante $x_i$ de $X$ telle que $|x_i| = \max_{1 \leq j \leq n} |x_j| = \|X\|_\infty$ . Puisque $X \neq 0$ , nous avons $|x_i| > 0$ .

3. Analyse par cas selon l'indice du maximum.

Premier cas : Si $i=1$ .

L'équation $a_0 x_n = \lambda x_1$ donne par passage au module :

|\lambda| |x_1| = |a_0| |x_n|

Comme $|x_n| \leq |x_1|$ , nous en déduisons :

\boxed{|\lambda| \leq |a_0|}

Second cas : Si $i \in \{2, \dots, n\}$ .

D'après la $(i)$ -ème ligne du système, nous avons $\lambda x_i = x_{i-1} + a_{i-1} x_n$ . En utilisant l'inégalité triangulaire, il vient :

|\lambda| |x_i| \leq |x_{i-1}| + |a_{i-1}| |x_n|

Par définition de $x_i$ , on sait que $|x_{i-1}| \leq |x_i|$ et $|x_n| \leq |x_i|$ . On obtient alors :

|\lambda| |x_i| \leq |x_i| + |a_{i-1}| |x_i| = (1 + |a_{i-1}|) |x_i|

En simplifiant par $|x_i| > 0$ , on conclut que :

\boxed{|\lambda| \leq 1 + |a_{i-1}|}

4. Conclusion.

Dans tous les cas, la valeur propre $\lambda$ est majorée par l'un des termes de l'ensemble $\{ |a_0|, 1+|a_1|, \dots, 1+|a_{n-1}| \}$ . Par conséquent, on a bien :

\boxed{|\lambda| \leq \max \left( |a_0|, 1+|a_1|, \dots, 1+|a_{n-1}| \right)}

Attention à l'ordre des coefficients dans la matrice compagnon. Selon la définition choisie (coefficients sur la dernière ligne ou la dernière colonne), les calculs de normes subordonnées peuvent varier, mais le résultat final sur le spectre reste inchangé.