Signe du déterminant d'une matrice par blocs

Soient $n$ un entier naturel non nul et deux matrices $A$ et $B$ appartenant à $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ .

On considère la matrice par blocs $M \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R})$ définie par :

M = \begin{pmatrix} A & B -B & A \end{pmatrix}

Démontrer que le déterminant de la matrice $M$ est un réel positif ou nul : $\det(M) \geqslant 0$ .

1.

On pourra travailler dans $\mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C})$ et effectuer des opérations élémentaires sur les colonnes et les lignes par blocs.

2.

Chercher à faire apparaître les matrices $A+iB$ et $A-iB$ au sein d'une structure triangulaire par blocs.

3.

Utiliser le fait que pour toute matrice complexe $Z$ , on a $\det(\overline{Z}) = \overline{\det(Z)}$ .

Idées clés

•

Complexification de l'espace des matrices.

•

Opérations élémentaires par blocs (qui conservent le déterminant).

•

Propriété du déterminant de la conjuguée d'une matrice.

Résolution.

Considérons la matrice $M = \begin{pmatrix} A & B -B & A \end{pmatrix}$ comme un élément de $\mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C})$ .

Nous allons effectuer des opérations élémentaires sur les colonnes, puis sur les lignes, pour transformer $M$ en une matrice triangulaire par blocs.

Étape 1 : Opérations sur les colonnes.

Pour chaque indice $j \in \{1, \dots, n\}$ , on effectue l'opération sur les colonnes suivante :

C_j \leftarrow C_j + i C_{n+j}

Cela revient à multiplier $M$ à droite par une matrice de transvection par blocs de déterminant $1$ . Le déterminant est donc inchangé :

\det(M) = \det \begin{pmatrix} A + iB & B -B + iA & A \end{pmatrix}

Remarquons que dans le bloc inférieur gauche, nous avons :

-B + iA = i(A + iB)

L'égalité précédente devient donc :

\det(M) = \det \begin{pmatrix} A + iB & B i(A + iB) & A \end{pmatrix}

Étape 2 : Opérations sur les lignes.

Effectuons maintenant l'opération sur les lignes suivante pour chaque $j \in \{1, \dots, n\}$ :

L_{n+j} \leftarrow L_{n+j} - i L_j

Le déterminant reste inchangé, et on obtient une forme triangulaire supérieure par blocs :

\det(M) = \det \begin{pmatrix} A + iB & B 0 & A - i(B) \end{pmatrix}

En effet, le bloc en bas à droite devient $A - i(B)$ car :

A - i(B) = A - iB

Étape 3 : Calcul du déterminant par blocs.

La matrice obtenue est triangulaire par blocs. Son déterminant est le produit des déterminants des blocs diagonaux :

\det(M) = \det(A + iB) \times \det(A - iB)

Puisque les matrices $A$ et $B$ sont à coefficients réels, la matrice $A-iB$ est la conjuguée de la matrice $A+iB$ (élément par élément). On sait que pour toute matrice $Z \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ , $\det(\overline{Z}) = \overline{\det(Z)}$ .

En posant $z = \det(A + iB) \in \mathbb{C}$ , on a alors :

\det(A - iB) = \overline{z}

D'où l'expression finale :

\boxed{ \det(M) = z \overline{z} = |z|^2 }

Conclusion.

Comme le carré du module d'un nombre complexe est toujours un réel positif ou nul, on en déduit :

\boxed{ \det(M) \geqslant 0 }

Une erreur classique consiste à vouloir appliquer la formule " $\det = AD-BC$ " par blocs. Rappelons que $\det \begin{pmatrix} A & B C & D \end{pmatrix} = \det(AD-BC)$ n'est vrai que si les blocs commutent (par exemple si $C$ et $D$ commutent). Ici, $A$ et $B$ ne commutent pas nécessairement, donc cette formule simplifiée est inapplicable.