Disques de Gerschgorin et racines de polynômes

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $A = (a_{i,j}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ . Pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$ , on définit les sommes de lignes et de colonnes (hors diagonale) par :

L_i(A) = \sum_{j \neq i} |a_{i,j}|   \text{et}   C_j(A) = \sum_{i \neq j} |a_{i,j}|

On note

D_f(a, r) = \{z \in \mathbb{C} \mid |z-a| \leq r\}

le disque fermé de centre

a

et de rayon

r

.

Montrer que le spectre de $A$ , noté $\text{Sp}(A)$ , est inclus dans l'union des disques de lignes $\bigcup_{i=1}^n D_f(a_{i,i}, L_i(A))$ ainsi que dans l'union des disques de colonnes $\bigcup_{j=1}^n D_f(a_{j,j}, C_j(A))$ .
Soit $P = X^n - \sum_{k=0}^{n-1} a_k X^k$ un polynôme de $\mathbb{C}[X]$ . On considère la matrice compagnon associée : $C(P) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & a_0 1 & 0 & \ddots & \vdots & a_1 0 & \ddots & \ddots & 0 & \vdots \vdots & & \ddots & 0 & a_{n-2} 0 & \cdots & 0 & 1 & a_{n-1} \end{pmatrix}$ Déterminer le polynôme caractéristique de $C(P)$ , noté $\chi_{C(P)}$ .
En déduire que toute racine $z$ de $P$ vérifie l'inégalité suivante, où $M = \max_{0 \leq i \leq n-1} (1 + |a_i|)$ : $|z| \leq M$
Soit $(P_k)_{k \in \mathbb{N}}$ une suite de polynômes unitaires de degré $n$ convergeant vers un polynôme $P \in \mathbb{C}_n[X]$ (pour la norme du maximum des coefficients). Soit $z_0$ une racine de $P$ de multiplicité $d \geq 1$ . Montrer que pour tout $\varepsilon > 0$ assez petit, il existe un rang $K$ tel que pour tout $k \geq K$ , le disque ouvert $D_o(z_0, \varepsilon)$ contient au moins $d$ racines de $P_k$ comptées avec leur multiplicité.

1.

Pour la question 1, considérer un vecteur propre $X$ associé à $\lambda$ et regarder la composante de plus grand module. Pour les colonnes, appliquer le résultat à $^t A$ .

2.

Pour la question 2, effectuer un développement suivant la dernière colonne ou utiliser une récurrence sur la dimension.

3.

Pour la question 3, appliquer les disques de Gerschgorin à la matrice $C(P)$ . Attention au cas particulier de la dernière ligne.

4.

Pour la question 4, utiliser la continuité du déterminant et le fait que les racines d'un polynôme varient continûment en fonction de ses coefficients. On pourra raisonner par l'absurde ou utiliser des arguments de topologie sur les ensembles compacts.

Idées clés

•

Inégalité triangulaire et domination par la composante maximale d'un vecteur propre.

•

Structure des matrices compagnons.

•

Lien entre spectre d'une matrice et racines de son polynôme caractéristique.

•

Continuité des racines d'un polynôme (propriété topologique).

Résolution.

Soit $\lambda \in \text{Sp}(A)$ et $X = (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{C}^n \setminus \{0\}$ un vecteur propre associé. Par définition, $AX = \lambda X$ . Pour chaque ligne $i$ , on a : $\lambda x_i = \sum_{j=1}^n a_{i,j} x_j = a_{i,i} x_i + \sum_{j \neq i} a_{i,j} x_j$ Choisissons un indice $i_0$ tel que $|x_{i_0}| = \max_{1 \leq j \leq n} |x_j|$ . Puisque $X \neq 0$ , on a $|x_{i_0}| > 0$ . L'égalité précédente pour $i = i_0$ donne : $(\lambda - a_{i_0,i_0}) x_{i_0} = \sum_{j \neq i_0} a_{i_0,j} x_j$ En passant au module et en utilisant l'inégalité triangulaire : $|\lambda - a_{i_0,i_0}| \cdot |x_{i_0}| \leq \sum_{j \neq i_0} |a_{i_0,j}| \cdot |x_j| \leq \left( \sum_{j \neq i_0} |a_{i_0,j}| \right) |x_{i_0}|$ En divisant par $|x_{i_0}| > 0$ , on obtient $|\lambda - a_{i_0,i_0}| \leq L_{i_0}(A)$ . Ainsi : $\boxed{\text{Sp}(A) \subseteq \bigcup_{i=1}^n D_f(a_{i,i}, L_i(A))}$ Puisque $\text{Sp}(A) = \text{Sp}(^t A)$ et que $L_i(^t A) = C_i(A)$ , l'inclusion dans l'union des disques de colonnes est immédiate.
Calculons $\chi_{C(P)}(X) = \det(XI_n - C(P))$ . En notant $M_n = XI_n - C(P)$ : $M_n = \begin{pmatrix} X & 0 & \cdots & 0 & -a_0 -1 & X & \ddots & \vdots & -a_1 0 & \ddots & \ddots & 0 & \vdots \vdots & & \ddots & -1 & X-a_{n-1} \end{pmatrix}$ Par un développement selon la dernière colonne, on montre par récurrence (ou par opérations élémentaires $L_i \leftarrow L_i + X L_{i-1}$ ) que : $\boxed{\chi_{C(P)}(X) = X^n - a_{n-1}X^{n-1} - \dots - a_1 X - a_0 = P(X)}$
Les racines de $P$ $P$ sont les valeurs propres de $C(P)$ $C (P)$ . Appliquons le résultat de la question 1 (disques de lignes) à $C(P)$ $C (P)$ :
- Pour $i \in \{1, \dots, n-1\}$ , $a_{i,i} = 0$ et $L_i(C(P)) = |a_{i-1}| + 0 = |a_{i-1}|$ si on regarde les lignes. Cependant, la structure donnée dans l'énoncé pour $C(P)$ place les $1$ sur la sous-diagonale.
- Reprenons la matrice $C(P)$ de l'énoncé. Les disques de lignes sont : $D_f(0, |a_0|)$ pour la ligne 1, $D_f(0, 1+|a_1|)$ pour la ligne 2, ..., $D_f(0, 1+|a_{n-2}|)$ pour la ligne $n-1$ , et enfin $D_f(a_{n-1}, 1)$ pour la ligne $n$ .
Toute racine $z$ $z$ est dans l'un de ces disques. Si $z \in D_f(0, |a_{i-1}|+1)$ $z \in D_{f} (0, ∣ a_{i - 1} ∣ + 1)$ , alors $|z| \leq 1 + |a_{i-1}|$ $∣ z ∣ \leq 1 + ∣ a_{i - 1} ∣$ . Si $z \in D_f(a_{n-1}, 1)$ $z \in D_{f} (a_{n - 1}, 1)$ , alors $|z| \leq |a_{n-1}| + 1$ $∣ z ∣ \leq ∣ a_{n - 1} ∣ + 1$ . Dans tous les cas, en posant $M = \max(1, \max_{0 \leq i \leq n-1} (1+|a_i|))$ $M = max (1, max_{0 \leq i \leq n - 1} (1 + ∣ a_{i} ∣))$ , on a :
$\boxed{|z| \leq M}$
Cette question repose sur la continuité des racines. Soit $z_0$ une racine de $P$ de multiplicité $d$ . On peut isoler $z_0$ dans un disque fermé $K = D_f(z_0, \varepsilon)$ tel que $z_0$ soit la seule racine de $P$ dans $K$ . Sur le cercle bordant $K$ , soit $C = \{z : |z-z_0| = \varepsilon\}$ , le polynôme $P$ ne s'annule pas. Par compacité de $C$ , $\inf_{z \in C} |P(z)| = m > 0$ . Puisque $P_k \to P$ uniformément sur le compact $K$ , pour $k$ assez grand, $|P_k(z) - P(z)| < m \leq |P(z)|$ pour tout $z \in C$ . D'après le théorème de Rouché (ou une version adaptée via l'étude de la variation de l'argument), $P$ et $P_k$ ont le même nombre de racines dans $D_o(z_0, \varepsilon)$ . Puisque $P$ en a $d$ , $P_k$ en possède également $d$ . Approche alternative (MP) : On utilise le fait que l'application qui à un polynôme associe l'ensemble de ses racines est continue pour la distance de Hausdorff. Si le résultat était faux, on pourrait extraire une sous-suite de polynômes $P_{\phi(k)}$ dont le nombre de racines dans $D_o(z_0, \epsilon)$ est strictement inférieur à $d$ , ce qui contredirait la convergence des coefficients par les relations de Viète.

Dans la question 1, ne pas oublier que le résultat s'applique aux lignes ET aux colonnes. Parfois, l'un des deux donne une localisation beaucoup plus fine que l'autre.