Semicontinuité supérieure du rang

Soit $n$ un entier naturel non nul et $p$ un entier tel que $0 \leq p \leq n$ .

On considère une suite de matrices $(A_k)_{k \in \mathbb{N}}$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ convergeant vers une matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ .

On suppose que, pour tout entier $k \in \mathbb{N}$ , on a $\operatorname{rg}(A_k) = p$ .

Montrer que le rang de la matrice limite $A$ vérifie l'inégalité :

\operatorname{rg}(A) \leq p

1.

Utiliser la caractérisation du rang par les mineurs : une matrice est de rang inférieur ou égal à $p$ si et seulement si tous ses mineurs d'ordre $p+1$ sont nuls.

2.

Un mineur est une fonction polynomiale des coefficients de la matrice, ce qui assure sa continuité.

Idées clés

•

Caractérisation du rang par l'annulation des mineurs.

•

Continuité des applications "mineurs" (fonctions polynomiales des coefficients).

•

Stabilité du passage à la limite pour les égalités larges.

Résolution.

Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ . Rappelons qu'un mineur d'ordre $r$ de $M$ est le déterminant d'une sous-matrice carrée de taille $r \times r$ obtenue en conservant $r$ lignes et $r$ colonnes de $M$ .

D'après le cours sur le rang, on dispose de la caractérisation suivante :

\operatorname{rg}(M) \leq p \iff \text{tous les mineurs d'ordre } p+1 \text{ de } M \text{ sont nuls}

Soit $\sigma = (i_1, \dots, i_{p+1})$ un choix de $p+1$ indices de lignes et $\tau = (j_1, \dots, j_{p+1})$ un choix de $p+1$ indices de colonnes.

On note $\Delta_{\sigma, \tau}(M)$ le mineur correspondant de la matrice $M$ .

L'application $\Delta_{\sigma, \tau} : \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \to \mathbb{C}$ est une fonction polynomiale des coefficients de la matrice.

En tant que telle, elle est continue sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ muni de sa topologie d'espace vectoriel normé de dimension finie.

Par hypothèse, pour tout $k \in \mathbb{N}$ , on a $\operatorname{rg}(A_k) = p$ , ce qui implique en particulier :

\operatorname{rg}(A_k) \leq p

Ainsi, pour tout couple d'extractions $(\sigma, \tau)$ de taille $p+1$ , on a :

\forall k \in \mathbb{N},   \Delta_{\sigma, \tau}(A_k) = 0

Puisque la suite $(A_k)_{k \in \mathbb{N}}$ converge vers $A$ et que l'application $\Delta_{\sigma, \tau}$ est continue, on peut passer à la limite dans l'égalité précédente :

\Delta_{\sigma, \tau}(A) = \lim_{k \to +\infty} \Delta_{\sigma, \tau}(A_k) = 0

Ce raisonnement étant valable pour tous les mineurs d'ordre $p+1$ de la matrice $A$ , on en déduit, par la caractérisation rappelée au début, que :

\boxed{\operatorname{rg}(A) \leq p}

Le rang n'est pas une application continue ! On ne peut pas écrire $\lim \operatorname{rg}(A_k) = \operatorname{rg}(\lim A_k)$ . L'exercice montre d'ailleurs que le rang peut "chuter" à la limite, mais jamais augmenter.