Invariants par similitude et continuité

Soit $n \geq 2$ . On considère l'espace vectoriel $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ muni d'une norme quelconque $\|\cdot\|$ .

Pour toute matrice $A$ , on note $\chi_A(X) = X^n + \sum_{k=0}^{n-1} a_k(A) X^k$ son polynôme caractéristique. Montrer que pour tout $k \in \{0, \dots, n-1\}$ , l'application $a_k : \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \to \mathbb{C}$ est continue.
On cherche à savoir s'il existe une norme $N$ $N$ sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ $M_{n} (C)$ qui soit invariante par similitude, c'est-à-dire telle que :
$\forall A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}), \forall P \in GL_n(\mathbb{C}), N(P^{-1}AP) = N(A)$
1. En utilisant le résultat sur les matrices nilpotentes (Exercice 2), montrer qu'une telle norme $N$ vérifierait $N(A) = 0$ pour toute matrice nilpotente $A$ .
2. Conclure quant à l'existence d'une telle norme.

1.

Exprimer les coefficients du polynôme caractéristique comme des polynômes en les coefficients de la matrice (formule du déterminant).

2.

Si $N$ est invariante par similitude, $N(A)$ est constant sur la classe de similitude $\mathcal{C}(A)$ . Par continuité de la norme, $N$ est alors constante sur $\overline{\mathcal{C}(A)}$ .

Idées clés

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Les coefficients d'un déterminant sont des polynômes en les entrées.

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Invariance et passage à la limite dans les normes.

Résolution.

Par définition, $\chi_A(X) = \det(XI_n - A)$ . D'après la formule de Leibniz, le déterminant d'une matrice $M = (m_{i,j})$ est : $\det M = \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^n m_{i,\sigma(i)}$ Chaque coefficient $a_k(A)$ du polynôme $\chi_A$ s'exprime donc comme une somme de produits des coefficients de la matrice $A$ . Ce sont des fonctions polynomiales des variables $(A_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n}$ . Toute fonction polynomiale sur un espace vectoriel de dimension finie est continue. $\boxed{\forall k \in \{0, \dots, n-1\}, a_k \text{ est continue sur } \mathcal{M}_n(\mathbb{C}).}$
1. Soit $A$ une matrice nilpotente non nulle. On sait d'après l'exercice précédent que $0 \in \overline{\mathcal{C}(A)}$ . Il existe donc une suite $(M_p)_{p \in \mathbb{N}}$ d'éléments de $\mathcal{C}(A)$ telle que $\lim_{p \to \infty} M_p = 0$ . Si $N$ est une norme invariante par similitude, alors pour tout $p$ , $N(M_p) = N(A)$ . Par continuité de la norme sur un espace de dimension finie : $N(A) = \lim_{p \to \infty} N(M_p) = N\left(\lim_{p \to \infty} M_p\right) = N(0) = 0$ $\boxed{N(A) = 0 \text{ pour toute matrice nilpotente } A}$
2. Or, par définition d'une norme, $N(A) = 0 \implies A = 0$ . Pourtant, il existe des matrices nilpotentes non nulles (par exemple $E_{1,2}$ ). Ceci constitue une contradiction. $\boxed{\text{Il n'existe pas de norme sur } \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \text{ invariante par similitude.}}$

Ne pas confondre avec les normes subordonnées ou la norme de Frobenius qui sont invariantes par similitude unitaire ( $N(U^*AU) = N(A)$ ), mais pas par similitude quelconque.