Convergence des puissances d'une matrice à blocs

On considère, pour tout couple de réels $(a, b) \in \mathbb{R}^2$ , la matrice suivante :

A = \begin{pmatrix} a^{2} & a b & a b & b^{2} a b & a^{2} & b^{2} & a b a b & b^{2} & a^{2} & a b b^{2} & a b & a b & a^{2} \end{pmatrix}

L'objectif est de déterminer et de représenter graphiquement l'ensemble des couples $(a, b)$ tels que la suite de matrices $(A^m)_{m \in \mathbb{N}}$ converge vers la matrice nulle.

1.

Remarquer que la matrice possède une structure de blocs de type $\begin{pmatrix} M_1 & M_2 M_2 & M_1 \end{pmatrix}$ avec $M_1, M_2 \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ .

2.

Utiliser un changement de base par blocs pour réduire la matrice $A$ .

3.

Se ramener à l'étude du rayon spectral $\rho(A)$ de la matrice $A$ . On rappelle qu'une matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifie $A^m \to 0$ si et seulement si toutes ses valeurs propres complexes sont de module strictement inférieur à $1$ .

4.

Pour la représentation graphique, simplifier les conditions obtenues sur $a$ et $b$ sous forme d'inégalités classiques.

Idées clés

•

Réduction par blocs d'une matrice symétrique par blocs.

•

Lien entre convergence de $A^m$ et spectre $\text{Sp}(A)$ .

•

Condition sur le rayon spectral : $\rho(A) < 1$ .

1. Réduction de la matrice $A$ .

On observe que la matrice $A$ peut s'écrire sous la forme :

A = \begin{pmatrix} M_1 & M_2 M_2 & M_1 \end{pmatrix}   \text{avec}   M_1 = \begin{pmatrix} a^2 & ab ab & a^2 \end{pmatrix} \text{ et } M_2 = \begin{pmatrix} ab & b^2 b^2 & ab \end{pmatrix}

Introduisons la matrice de passage par blocs :

P = \begin{pmatrix} I_2 & I_2 -I_2 & I_2 \end{pmatrix}

Par un calcul par blocs classique, on vérifie que $A$ est semblable à une matrice diagonale par blocs :

P^{-1} A P = \begin{pmatrix} M_1 - M_2 & 0 0 & M_1 + M_2 \end{pmatrix}

Ainsi, le spectre de $A$ est la réunion des spectres de $M_1 - M_2$ et $M_1 + M_2$ .

2. Calcul des valeurs propres.

Explicitons les matrices de taille 2 :

M_1 + M_2 = \begin{pmatrix} a^2+ab & ab+b^2 ab+b^2 & a^2+ab \end{pmatrix} = (a+b) \begin{pmatrix} a & b b & a \end{pmatrix}

M_1 - M_2 = \begin{pmatrix} a^2-ab & ab-b^2 ab-b^2 & a^2-ab \end{pmatrix} = (a-b) \begin{pmatrix} a & -b -b & a \end{pmatrix}

Les valeurs propres d'une matrice de type $\begin{pmatrix} x & y y & x \end{pmatrix}$ sont $x+y$ et $x-y$ . On en déduit les valeurs propres de $M_1+M_2$ :

$\lambda_1 = (a+b)(a+b) = (a+b)^2$
$\lambda_2 = (a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

De même pour $M_1 - M_2$ :

$\lambda_3 = (a-b)(a-b) = (a-b)^2$
$\lambda_4 = (a-b)(a+b) = a^2 - b^2$

Le spectre de $A$ est donc :

\boxed{\text{Sp}(A) = \{ (a+b)^2, (a-b)^2, a^2 - b^2 \}}

3. Condition de convergence.

La suite $(A^m)_{m \in \mathbb{N}}$ converge vers $0$ si et seulement si toutes les valeurs propres de $A$ sont de module strictement inférieur à $1$ . Ceci équivaut à :

\max \left( (a+b)^2, (a-b)^2, |a^2 - b^2| \right) < 1

Comme $|a^2 - b^2| = |a+b| \cdot |a-b|$ , si $(a+b)^2 < 1$ et $(a-b)^2 < 1$ , alors $|a+b| < 1$ et $|a-b| < 1$ , ce qui implique automatiquement $|a^2 - b^2| < 1$ . Le système de conditions se réduit donc à :

\begin{cases} |a+b| < 1 |a-b| < 1 \end{cases}

4. Synthèse et représentation géométrique.

Les inégalités précédentes définissent l'intersection de deux bandes du plan :

$-1 < a+b < 1$ : zone située entre les droites $b = -a-1$ et $b = -a+1$ .
$-1 < a-b < 1$ : zone située entre les droites $b = a-1$ et $b = a+1$ .

Cette intersection est l'intérieur du carré de sommets $(1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1)$ . Une caractérisation plus simple de cet ensemble est :

\boxed{ |a| + |b| < 1 }

L'ensemble cherché est donc la boule unité ouverte pour la norme $L^1$ dans $\mathbb{R}^2$ .

Ne pas oublier que la condition $A^m \to 0$ porte sur le rayon spectral (toutes les valeurs propres). Il ne suffit pas de vérifier une seule valeur propre. Ici, la structure de la matrice permet de regrouper les conditions.