Puissances bornées et noyaux itérés

Soient $A$ et $B$ deux matrices appartenant à $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ .

On émet les deux hypothèses suivantes :

La suite des puissances de $A$ , notée $\left(A^{k}\right)_{k \in \mathbb{N}}$ , est une suite bornée dans $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ .
Les matrices $A$ et $B$ vérifient la relation : $(A - I_{n})^{2} B = 0$ .

Démontrer que l'on a nécessairement la relation : $(A - I_{n}) B = 0$ .

1.

Traduire l'égalité matricielle $(A - I_{n})^{2} B = 0$ en une propriété sur les colonnes de la matrice $B$ .

2.

Pour un vecteur $X$ appartenant au noyau de $(A-I_n)^2$ , exprimer le vecteur $A^k X$ en utilisant la formule du binôme de Newton sur l'identité $A = I_n + (A-I_n)$ .

3.

Utiliser l'hypothèse de bornitude pour analyser le comportement asymptotique de la suite $(A^k X)_{k \in \mathbb{N}}$ .

Idées clés

•

Lien entre croissance polynomiale des puissances et stabilité des noyaux.

•

Utilisation de la formule du binôme pour les endomorphismes.

•

Argument par l'absurde ou par analyse de la norme pour la convergence.

Résolution.

Considérons un vecteur $X \in \mathbb{C}^n$ quelconque.

L'hypothèse $(A-I_n)^2 B = 0$ signifie que pour chaque vecteur colonne $X_j$ (pour $j \in \{1, \dots, n\}$ ) de la matrice $B$ , nous avons :

(A - I_n)^2 X_j = 0

Soit $X$ une telle colonne. Posons $Y = (A - I_n) X$ .

D'après l'égalité précédente, nous avons :

(A - I_n) Y = 0   \text{donc}   AY = Y

Nous souhaitons montrer que $Y = 0$ . Pour cela, exprimons $A^k X$ pour tout entier naturel $k$ .

Remarquons que les matrices $I_n$ et $(A - I_n)$ commutent. Nous pouvons donc appliquer la formule du binôme de Newton :

A^k = (I_n + (A - I_n))^k = \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} (A - I_n)^j

Appliquons cette identité au vecteur $X$ . Comme $(A - I_n)^j X = 0$ pour tout $j \geq 2$ , la somme se simplifie considérablement :

A^k X = \binom{k}{0} I_n X + \binom{k}{1} (A - I_n) X + 0

On obtient ainsi l'expression fondamentale suivante :

\boxed{ A^k X = X + k Y }

Par hypothèse, la suite de matrices $(A^k)_{k \in \mathbb{N}}$ est bornée dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ .

Il existe donc une constante $M > 0$ telle que pour tout $k \in \mathbb{N}$ , $\|A^k\| \leq M$ (où $\|\cdot\|$ est une norme subordonnée sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ ).

On en déduit que pour tout entier $k$ :

\|A^k X\| \leq \|A^k\| \cdot \|X\| \leq M \|X\|

La suite de vecteurs $(A^k X)_{k \in \mathbb{N}}$ est donc également bornée dans $\mathbb{C}^n$ .

D'après l'expression $A^k X = X + k Y$ , si le vecteur $Y$ était non nul, nous aurions par l'inégalité triangulaire inversée :

\|A^k X\| = \|k Y + X\| \geq | k \|Y\| - \|X\| |

Or, si $Y \neq 0$ , alors $\|Y\| > 0$ et le membre de droite tend vers $+\infty$ quand $k$ tend vers l'infini.

Cela contredit le fait que la suite $(A^k X)_{k \in \mathbb{N}}$ est bornée.

Par conséquent, on a nécessairement :

\boxed{ Y = 0 }

Comme $Y = (A - I_n) X$ pour chaque colonne $X$ de $B$ , on conclut que chaque colonne de la matrice $(A - I_n) B$ est nulle.

On a donc bien démontré que :

\boxed{ (A - I_n) B = 0 }

Attention à ne pas affirmer trop vite que "si $(A^k)$ est bornée, alors $A$ est diagonalisable". C'est faux en général (penser à l'identité). La propriété correcte est que les valeurs propres de module $1$ doivent être des racines simples du polynôme minimal. L'exercice démontre précisément un cas particulier de ce résultat (pour la valeur propre 1).