Moyenne de Cesàro et projecteur spectral

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie sur $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ . On considère un endomorphisme $f \in \mathcal{L}(E)$ tel que la suite de ses itérés $(f^n)_{n \in \mathbb{N}}$ soit bornée dans $\mathcal{L}(E)$ . Pour tout entier naturel $n$ , on définit l'endomorphisme $g_n$ par :

g_n = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} f^k

Soit $x \in E$ $x \in E$ . Étudier la convergence de la suite $(g_n(x))_{n \in \mathbb{N}}$ $(g_{n} (x))_{n \in N}$ dans les deux cas suivants :
1. $x \in \ker(f - \text{Id}_E)$ .
2. $x \in \text{im}(f - \text{Id}_E)$ .
Montrer que la suite d'endomorphismes $(g_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers un endomorphisme $P$ que l'on caractérisera géométriquement.

1.

Pour la question 1.(a), remarquer que si $f(x)=x$ , alors $f^k(x)=x$ pour tout $k$ .

2.

Pour la question 1.(b), utiliser une somme télescopique pour simplifier $g_n(f(y)-y)$ .

3.

Pour la question 2, établir que $E = \ker(f - \text{Id}_E) \oplus \text{im}(f - \text{Id}_E)$ en utilisant l'hypothèse que la suite $(f^n)$ est bornée.

Idées clés

•

Simplification de sommes par la structure de noyau et d'image.

•

Utilisation de la croissance linéaire versus bornitude pour prouver une somme directe.

•

Caractérisation d'un projecteur par ses sous-espaces stables.

Résolution.

1. Supposons que $x \in \ker(f - \text{Id}_E)$ . Alors $f(x) = x$ , et par une récurrence immédiate, pour tout $k \in \mathbb{N}$ , $f^k(x) = x$ . En injectant ceci dans l'expression de $g_n(x)$ , on obtient : $g_n(x) = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} x = \frac{1}{n+1} \cdot (n+1)x = x$ La suite $(g_n(x))$ est constante, donc : $\boxed{\lim_{n \to +\infty} g_n(x) = x}$
2. Supposons que $x \in \text{im}(f - \text{Id}_E)$ . Il existe alors un vecteur $y \in E$ tel que $x = f(y) - y$ . Calculons $g_n(x)$ par linéarité de la somme : $g_n(x) = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} f^k(f(y) - y) = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} (f^{k+1}(y) - f^k(y))$ Il s'agit d'une somme télescopique. On en déduit : $g_n(x) = \frac{1}{n+1} (f^{n+1}(y) - f^0(y)) = \frac{f^{n+1}(y) - y}{n+1}$ Puisque la suite $(f^n)$ est bornée dans $\mathcal{L}(E)$ , il existe une constante $M$ telle que pour tout $n$ , $\|f^n(y)\| \leq M \|y\|$ . Le numérateur de l'expression précédente est donc borné. Par conséquent, par comparaison avec une suite tendant vers 0 : $\boxed{\lim_{n \to +\infty} g_n(x) = 0}$
Pour montrer que $g_n$ converge, nous allons montrer que $E = \ker(f - \text{Id}_E) \oplus \text{im}(f - \text{Id}_E)$ . Étape 1 : Intersection. Soit $x \in \ker(f - \text{Id}_E) \cap \text{im}(f - \text{Id}_E)$ . D'après la question 1, on a simultanément $g_n(x) \to x$ (car $x \in \ker(f-\text{Id})$ ) et $g_n(x) \to 0$ (car $x \in \text{im}(f-\text{Id})$ ). Par unicité de la limite, on a nécessairement $x = 0$ . Étape 2 : Dimension. D'après le théorème du rang, on sait que $\dim(\ker(f - \text{Id}_E)) + \dim(\text{im}(f - \text{Id}_E)) = \dim(E)$ . La somme est donc directe et égale à $E$ : $\boxed{E = \ker(f - \text{Id}_E) \oplus \text{im}(f - \text{Id}_E)}$
Étape 3 : Convergence de l'endomorphisme. Soit $z \in E$ . Il existe un unique couple $(x, y) \in \ker(f - \text{Id}_E) \times \text{im}(f - \text{Id}_E)$ tel que $z = x + y$ . Par linéarité de $g_n$ , on a $g_n(z) = g_n(x) + g_n(y)$ . D'après les résultats de la question 1 :
$\lim_{n \to +\infty} g_n(z) = x + 0 = x$ On reconnaît ici la définition du projecteur sur le premier sous-espace parallèlement au second. Ainsi, la suite $(g_n)$ converge simplement (et donc pour toute norme car $E$ est de dimension finie) vers l'endomorphisme $P$ . $\boxed{P \text{ est le projecteur sur } \ker(f - \text{Id}_E) \text{ parallèlement à } \text{im}(f - \text{Id}_E)}$

Ne pas oublier de justifier pourquoi la somme est directe. L'hypothèse " $(f^n)$ bornée" est cruciale : sans elle, on pourrait avoir un bloc de Jordan associé à la valeur propre 1 de taille $\geq 2$ , auquel cas l'intersection $\ker(f-\text{Id}) \cap \text{im}(f-\text{Id})$ ne serait pas réduite à $\{0\}$ .