Rayon spectral et matrices à diagonale dominante

Soit $A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ une matrice carrée d'ordre $n \geqslant 2$ . On suppose les trois propriétés suivantes :

Pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$ , $|a_{ii}| \geqslant \sum_{j \neq i} |a_{ij}|$ .
Il existe au moins un indice $i_0 \in \{1, \dots, n\}$ tel que $|a_{i_0 i_0}| > \sum_{j \neq i_0} |a_{i_0 j}|$ .
Pour tout couple d'indices distincts $(i, j)$ , il existe une suite d'indices $i_1, \dots, i_p$ tels que : $a_{i, i_1} a_{i_1, i_2} \cdots a_{i_p, j} \neq 0$

On définit la matrice diagonale $D = \text{Diag}(a_{11}, \dots, a_{nn})$ .

Justifier que la matrice $D$ est inversible.
On pose $B = I_n - D^{-1}A$ . Démontrer que le rayon spectral de $B$ , noté $\rho(B)$ , est strictement inférieur à $1$ .

1.

Pour la question 1, raisonner par l'absurde en utilisant la condition (iii) qui assure qu'aucune ligne ne peut être entièrement nulle (en dehors du terme diagonal).

2.

Pour la question 2, considérer une valeur propre $\lambda$ de $B$ telle que $|\lambda| = \rho(B)$ .

3.

Utiliser l'ensemble des indices $I = \{ i \in \{1, \dots, n\} \mid |x_i| = \|x\|_\infty \}$ où $x$ est un vecteur propre associé à $\lambda$ .

4.

Exploiter la condition (iii) pour montrer que si l'un des indices appartient à $I$ , alors ils y appartiennent tous par "propagation".

Idées clés

•

Étude de la dominance diagonale (Lévy-Desplanques).

•

Notion de matrice irréductible (via la condition de chemin).

•

Localisation des valeurs propres (Disques de Gershgorin).

Résolution.

Supposons qu'il existe un indice $i$ tel que $a_{ii} = 0$ . D'après la condition (i), on aurait alors : $0 = |a_{ii}| \geqslant \sum_{j \neq i} |a_{ij}|$ Comme il s'agit d'une somme de termes positifs, cela impose que pour tout $j \neq i$ , $a_{ij} = 0$ . La $i$ -ème ligne de la matrice $A$ est donc entièrement nulle. Or, d'après la condition (iii), pour n'importe quel $j \neq i$ , il doit exister un chemin d'indices reliant $i$ à $j$ tel que le produit des coefficients correspondants soit non nul. En particulier, il devrait exister $i_1$ tel que $a_{i, i_1} \neq 0$ . Ceci est en contradiction avec la nullité de la ligne $i$ . Ainsi, tous les coefficients diagonaux sont non nuls, ce qui prouve que : $\boxed{D = \text{Diag}(a_{11}, \dots, a_{nn}) \in GL_n(\mathbb{C})}$
La matrice $B = I_n - D^{-1}A$ $B = I_{n} - D^{- 1} A$ possède des coefficients $b_{ij}$ $b_{ij}$ définis par :
$b_{ii} = 1 - \frac{a_{ii}}{a_{ii}} = 0 \text{et} \forall i \neq j, \ b_{ij} = -\frac{a_{ij}}{a_{ii}}$
Soit $\lambda \in \mathbb{C}$ $λ \in C$ une valeur propre de $B$ $B$ . Il existe un vecteur $x \in \mathbb{C}^n \setminus \{0\}$ $x \in C^{n} ∖ {0}$ tel que $Bx = \lambda x$ $B x = λ x$ . Pour chaque composante $i$ $i$ , on a :
$\lambda x_i = \sum_{j=1}^n b_{ij} x_j = \sum_{j \neq i} b_{ij} x_j$
Considérons la norme infini $\|x\|_\infty = \max_{1 \leqslant k \leqslant n} |x_k| > 0$ $∥ x ∥_{\infty} = max_{1 ⩽ k ⩽ n} ∣ x_{k} ∣ > 0$ . Pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$ $i \in {1, \dots, n}$ , l'inégalité triangulaire donne :
$|\lambda| |x_i| \leqslant \sum_{j \neq i} |b_{ij}| |x_j| \leqslant \left( \sum_{j \neq i} |b_{ij}| \right) \|x\|_\infty$
En choisissant $i$ $i$ tel que $|x_i| = \|x\|_\infty$ $∣ x_{i} ∣ = ∥ x ∥_{\infty}$ , on obtient :
$|\lambda| \leqslant \sum_{j \neq i} |b_{ij}| = \frac{1}{|a_{ii}|} \sum_{j \neq i} |a_{ij}| \leqslant 1$
Ceci montre déjà que $\rho(B) \leqslant 1$ $ρ (B) ⩽ 1$ . Supposons par l'absurde que $\rho(B) = 1$ $ρ (B) = 1$ . Soit $\lambda$ $λ$ une valeur propre telle que $|\lambda| = 1$ $∣ λ ∣ = 1$ et $x$ $x$ un vecteur propre associé. Posons $I = \{ i \in \{1, \dots, n\} \mid |x_i| = \|x\|_\infty \}$ $I = {i \in {1, \dots, n} ∣ ∣ x_{i} ∣ = ∥ x ∥_{\infty}}$ . Cet ensemble est non vide. Soit $i \in I$ $i \in I$ . On a :
$1 = |\lambda| |x_i| \leqslant \sum_{j \neq i} |b_{ij}| |x_j| \leqslant \sum_{j \neq i} |b_{ij}| \|x\|_\infty = \sum_{j \neq i} |b_{ij}| \leqslant 1$
Toutes les inégalités sont donc des égalités. On en déduit deux points cruciaux :
- $\sum_{j \neq i} |b_{ij}| = 1$ .
- Pour tout $j$ tel que $b_{ij} \neq 0$ , on doit avoir $|x_j| = \|x\|_\infty$ , soit $j \in I$ .
Le second point signifie que si $i \in I$ $i \in I$ et $a_{ij} \neq 0$ $a_{ij} \neq = 0$ , alors $j \in I$ $j \in I$ . D'après la condition (iii), pour tout $i \in I$ $i \in I$ et tout $k \notin I$ $k \in / I$ (si un tel $k$ $k$ existe), il existe un chemin $i \to i_1 \to \dots \to i_p \to k$ $i \to i_{1} \to \dots \to i_{p} \to k$ avec des coefficients de $A$ $A$ non nuls. Par récurrence, $i \in I \implies i_1 \in I \implies \dots \implies k \in I$ $i \in I ⟹ i_{1} \in I ⟹ \dots ⟹ k \in I$ . Ceci prouve que si $I$ $I$ est non vide, alors $I = \{1, \dots, n\}$ $I = {1, \dots, n}$ . Mais alors, pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$ $i \in {1, \dots, n}$ , on doit avoir la première égalité :
$\sum_{j \neq i} |b_{ij}| = 1 \iff |a_{ii}| = \sum_{j \neq i} |a_{ij}|$
Ceci contredit la condition (ii) qui affirme l'existence d'un indice $i_0$ $i_{0}$ pour lequel l'inégalité est stricte. Par conséquent, l'hypothèse $|\lambda| = 1$ $∣ λ ∣ = 1$ est impossible, et :
$\boxed{\rho(B) < 1}$

Une erreur fréquente est d'oublier d'utiliser la condition de "chemin" (irréductibilité). Sans elle, la matrice pourrait être décomposable (par blocs) et posséder une valeur propre de module 1 sur un bloc dont la diagonale n'est pas strictement dominante.