Méthode de la puissance et quotient de Rayleigh

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une matrice dont les valeurs propres complexes $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ vérifient la condition de séparation suivante :

|\lambda_1| > |\lambda_2| > \dots > |\lambda_n| > 0

Justifier que la matrice $A$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ . On note $(V_1, \dots, V_n)$ une base de vecteurs propres associés.
Soit $X_0 \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ $X_{0} \in R^{n} ∖ {0}$ . On définit la suite $(X_m)_{m \in \mathbb{N}}$ $(X_{m})_{m \in N}$ par la relation de récurrence $X_{m+1} = AX_m$ $X_{m + 1} = A X_{m}$ . On décompose $X_0 = \sum_{i=1}^n c_i V_i$ $X_{0} = \sum_{i = 1}^{n} c_{i} V_{i}$ dans la base des vecteurs propres.
1. Sous l'hypothèse $c_1 \neq 0$ , déterminer la limite de la suite de vecteurs $Y_m = \frac{X_m}{\lambda_1^m}$ .
2. En déduire que la direction de $X_m$ converge vers celle de $V_1$ . Plus précisément, montrer que $\frac{X_m}{\|X_m\|_2}$ converge vers un vecteur lié à $V_1$ (on pourra supposer $\lambda_1 > 0$ pour simplifier).
On appelle quotient de Rayleigh la quantité $R(X) = \frac{{}^tX A X}{\|X\|_2^2}$ . Étudier la convergence de la suite $(R(X_m))_{m \in \mathbb{N}}$ lorsque $A$ est une matrice symétrique réelle.
On suppose avoir déterminé $\lambda_1$ et $V_1$ . Proposer une méthode pour construire une matrice $B$ dont le spectre est $\{0, \lambda_2, \lambda_3, \dots, \lambda_n\}$ . Comment peut-on alors obtenir $\lambda_2$ ?

1.

Pour la question 1, utiliser le lien entre racines distinctes du polynôme caractéristique et diagonalisabilité.

2.

Pour la question 2, exprimer $X_m$ en fonction de $A^m$ et des vecteurs propres, puis factoriser par la valeur propre dominante.

3.

Pour le quotient de Rayleigh, utiliser le fait que pour une matrice symétrique, les vecteurs propres peuvent être choisis orthonormaux.

4.

Pour la question 4, regarder la matrice $B = A - \lambda_1 \frac{V_1 {}^t V_1}{\|V_1\|^2}$ dans le cas symétrique ou utiliser une matrice de projection.

Idées clés

•

Diagonalisation et calcul de $A^k$ via les projecteurs spectraux.

•

Comportement asymptotique dominé par la plus grande valeur propre en module.

•

Propriétés des matrices symétriques (théorème spectral).

Résolution.

Les valeurs propres de $A$ ont des modules strictement distincts par hypothèse. Par conséquent, elles sont deux à deux distinctes : $\forall (i,j) \in \llbracket 1, n \rrbracket^2, i \neq j \implies \lambda_i \neq \lambda_j$ Le polynôme caractéristique $\chi_A$ possède $n$ racines distinctes dans $\mathbb{C}$ . Une matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ ayant $n$ valeurs propres distinctes est diagonalisable. $\boxed{A \text{ est diagonalisable dans } \mathcal{M}_n(\mathbb{C})}$
1. Puisque $A V_i = \lambda_i V_i$ , on a par récurrence $X_m = A^m X_0 = \sum_{i=1}^n c_i \lambda_i^m V_i$ . Calculons $Y_m$ : $Y_m = \frac{X_m}{\lambda_1^m} = c_1 V_1 + \sum_{i=2}^n c_i \left( \frac{\lambda_i}{\lambda_1} \right)^m V_i$ Comme pour tout $i \geq 2$ , $|\lambda_i| < |\lambda_1|$ , on a $\left| \frac{\lambda_i}{\lambda_1} \right| < 1$ , donc $\left( \frac{\lambda_i}{\lambda_1} \right)^m \xrightarrow[m \to +\infty]{} 0$ . $\boxed{Y_m \xrightarrow[m \to +\infty]{} c_1 V_1}$
2. On a $\frac{X_m}{\|X_m\|_2} = \frac{\lambda_1^m Y_m}{\|\lambda_1^m Y_m\|_2} = \frac{\lambda_1^m}{|\lambda_1|^m} \frac{Y_m}{\|Y_m\|_2}$ . Si $\lambda_1 > 0$ , alors $\frac{\lambda_1^m}{|\lambda_1|^m} = 1$ . Par continuité de la norme et du quotient (car $c_1 \neq 0$ donc la limite de $Y_m$ est non nulle) : $\boxed{\frac{X_m}{\|X_m\|_2} \xrightarrow[m \to +\infty]{} \frac{c_1 V_1}{\|c_1 V_1\|_2}}$ Ce vecteur est bien un vecteur propre de $A$ associé à $\lambda_1$ .
Si $A$ est symétrique réelle, on peut choisir la base $(V_1, \dots, V_n)$ orthonormale pour le produit scalaire canonique. On a alors $\|X_m\|_2^2 = \sum_{i=1}^n c_i^2 \lambda_i^{2m}$ et ${}^tX_m A X_m = \sum_{i=1}^n c_i^2 \lambda_i^{2m+1}$ . $R(X_m) = \frac{c_1^2 \lambda_1^{2m+1} + \sum_{i=2}^n c_i^2 \lambda_i^{2m+1}}{c_1^2 \lambda_1^{2m} + \sum_{i=2}^n c_i^2 \lambda_i^{2m}} = \lambda_1 \frac{1 + \sum_{i=2}^n \frac{c_i^2}{c_1^2} \left( \frac{\lambda_i}{\lambda_1} \right)^{2m+1}}{1 + \sum_{i=2}^n \frac{c_i^2}{c_1^2} \left( \frac{\lambda_i}{\lambda_1} \right)^{2m}}$ Comme précédemment, les termes en $(\lambda_i/\lambda_1)$ tendent vers 0. $\boxed{R(X_m) \xrightarrow[m \to +\infty]{} \lambda_1}$
Pour obtenir $\lambda_2$ , on utilise la technique de "déflation". Si $A$ est symétrique et $V_1$ est un vecteur propre unitaire associé à $\lambda_1$ , on pose : $B = A - \lambda_1 V_1 {}^t V_1$ Vérifions le spectre de $B$ : $B V_1 = A V_1 - \lambda_1 V_1 ({}^t V_1 V_1) = \lambda_1 V_1 - \lambda_1 V_1 = 0$ . Pour $i \geq 2$ , $B V_i = A V_i - \lambda_1 V_1 ({}^t V_1 V_i) = \lambda_i V_i$ car les vecteurs propres sont orthogonaux. $\boxed{\text{Sp}(B) = \{0, \lambda_2, \dots, \lambda_n\}}$ On applique alors la méthode de la puissance à $B$ pour trouver sa valeur propre dominante (en valeur absolue), qui est $\lambda_2$ .

L'hypothèse $c_1 \neq 0$ est cruciale. Si le vecteur initial $X_0$ est orthogonal au sous-espace propre dominant, l'algorithme convergera (théoriquement) vers la valeur propre suivante. En pratique, les erreurs d'arrondi réintroduisent toujours une composante sur $V_1$ .