Compacité et déterminant d'opérateurs stabilisant un compact

Soit $K$ un voisinage compact de l'origine dans $\mathbb{R}^n$ . On considère l'ensemble des endomorphismes de $\mathbb{R}^n$ laissant $K$ stable :

A = \{u \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n) \mid u(K) \subset K\}

Démontrer que l'ensemble $A$ est une partie compacte de $\mathcal{L}(\mathbb{R}^n)$ .
Soit $u \in A$ . Établir que $|\det(u)| \le 1$ .

1.

Pour la compacité en dimension finie, on pourra montrer que $A$ est fermé et borné. Utiliser le fait que $K$ contient une boule centrée en 0 et est contenu dans une autre boule pour la bornitude.

2.

Pour le déterminant, remarquer que si $u \in A$ , alors toutes ses puissances $u^k$ appartiennent aussi à $A$ . Étudier alors le rayon spectral de $u$ en lien avec la bornitude de la suite $(u^k)_{k \in \mathbb{N}}$ .

Idées clés

•

Caractérisation des compacts en dimension finie (fermé borné).

•

Utilisation de la norme d'opérateur subordonnée.

•

Lien entre la bornitude des puissances d'une matrice et ses valeurs propres (rayon spectral).

1. Montrons que $A$ est compact.

L'espace $\mathcal{L}(\mathbb{R}^n)$ est un espace vectoriel de dimension finie $n^2$ . Pour montrer que $A$ est compact, il suffit de montrer que $A$ est fermé et borné.

Fermeture : Soit $(u_p)_{p \in \mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $A$ convergeant vers un endomorphisme $u$ . Soit $x \in K$ . Pour tout $p \in \mathbb{N}$ , on a $u_p(x) \in K$ par définition de $A$ .

Comme l'application $f : v \mapsto v(x)$ est continue sur $\mathcal{L}(\mathbb{R}^n)$ , la suite $(u_p(x))$ converge vers $u(x)$ . Comme $K$ est un compact de $\mathbb{R}^n$ , il est fermé.

Par passage à la limite dans un fermé, on en déduit :

\boxed{u(x) = \lim_{p \to +\infty} u_p(x) \in K}

Ceci étant vrai pour tout $x \in K$ , on a $u(K) \subset K$ , d'où $u \in A$ . L'ensemble $A$ est donc fermé.

Bornitude : Comme $K$ est un voisinage de $0$ , il existe $\epsilon > 0$ tel que la boule fermée $\mathcal{B}_f(0, \epsilon)$ soit incluse dans $K$ . De plus, $K$ étant compact, il est borné : il existe $M > 0$ tel que $K \subset \mathcal{B}_f(0, M)$ .

Soit $u \in A$ . Pour tout $x \in \mathcal{B}_f(0, \epsilon)$ , on a $x \in K$ , donc $u(x) \in K \subset \mathcal{B}_f(0, M)$ . On en déduit que pour tout $x \in \mathbb{R}^n$ non nul, le vecteur $z = \epsilon \frac{x}{\|x\|}$ appartient à $\mathcal{B}_f(0, \epsilon)$ .

Ainsi, $\|u(z)\| \le M$ , ce qui donne :

\left\| u\left( \epsilon \frac{x}{\|x\|} \right) \right\| \le M \implies \|u(x)\| \le \frac{M}{\epsilon} \|x\|

Ceci montre que l'endomorphisme $u$ est borné pour la norme d'opérateur $\|\cdot\| \|$ . Plus précisément :

\boxed{ \forall u \in A,   |||u||| \le \frac{M}{\epsilon} }

L'ensemble $A$ est donc borné. Étant fermé et borné dans un espace de dimension finie, $A$ est compact.

\medskip

2. Montrons que $|\det(u)| \le 1$ .

Soit $u \in A$ . Par une récurrence immédiate, on montre que pour tout $k \in \mathbb{N}$ , $u^k(K) \subset K$ . En effet, $u^0(K) = \text{Id}(K) = K \subset K$ , et si $u^k(K) \subset K$ , alors :

u^{k+1}(K) = u(u^k(K)) \subset u(K) \subset K

Ainsi, la suite $(u^k)_{k \in \mathbb{N}}$ est une suite d'éléments de $A$ . Comme $A$ est compact, il est borné, donc la suite $(u^k)_{k \in \mathbb{N}}$ est bornée dans $\mathcal{L}(\mathbb{R}^n)$ .

Soit $\lambda \in \mathbb{C}$ une valeur propre de $u$ . Considérons $u$ comme une matrice de $M_n(\mathbb{C})$ . Il existe un vecteur $X \in \mathbb{C}^n$ non nul tel que $uX = \lambda X$ . On a alors, pour tout $k \in \mathbb{N}$ :

u^k X = \lambda^k X

En passant à une norme matricielle quelconque $\|\cdot\|$ sur $M_n(\mathbb{C})$ , on obtient :

|\lambda|^k \|X\| = \|u^k X\| \le \|u^k\| \cdot \|X\|

Comme $X \neq 0$ , on a $\|X\| > 0$ , donc :

|\lambda|^k \le \|u^k\|

Si l'on supposait $|\lambda| > 1$ , alors $|\lambda|^k$ tendrait vers $+\infty$ quand $k \to +\infty$ . Cela contredirait le fait que la suite $(u^k)$ est bornée. On a donc nécessairement :

\boxed{ \forall \lambda \in \text{Sp}_{\mathbb{C}}(u),   |\lambda| \le 1 }

Le déterminant de $u$ est le produit de ses valeurs propres complexes (comptées avec leur multiplicité) :

\det(u) = \prod_{i=1}^n \lambda_i \implies |\det(u)| = \prod_{i=1}^n |\lambda_i|

Comme chaque $|\lambda_i| \le 1$ , on conclut :

\boxed{ |\det(u)| \le 1 }

Ne pas oublier de justifier que $K$ contient une boule centrée en 0. Si $K$ n'était pas un voisinage de 0 (par exemple si $K$ était réduit à un point autre que l'origine), l'ensemble $A$ ne serait pas nécessairement borné.