Point fixe d'un endomorphisme sur un convexe compact

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . On considère $E = \mathbb{R}^n$ muni de sa structure euclidienne usuelle. Soit $K$ une partie de $E$ non vide, convexe et compacte. On suppose que $u \in \mathcal{L}(E)$ est un endomorphisme tel que $u(K) \subset K$ .

Démontrer que l'endomorphisme $u$ possède au moins un point fixe appartenant à $K$ .

1.

Fixer un élément $x \in K$ et introduire la suite des moyennes de Cesàro des itérés de $u$ en $x$ :

v_N = \frac{1}{N+1} \sum_{k=0}^{N} u^k(x)

2.

Justifier que chaque terme $v_N$ appartient à $K$ en exploitant la convexité de $K$ et la stabilité de $K$ par $u$ .

3.

Utiliser la compacité de $K$ pour extraire une sous-suite convergente de $(v_N)$ .

4.

Étudier la limite de la quantité $u(v_N) - v_N$ pour conclure.

Idées clés

•

Exploitation de la structure de combinaison convexe : les moyennes de Cesàro permettent de "moyenner" le comportement des itérés.

•

Utilisation de la compacité (Bolzano-Weierstrass) pour assurer l'existence d'une valeur d'adhérence.

•

Caractérisation séquentielle de la continuité d'un endomorphisme en dimension finie.

Résolution.

Construction d'une suite d'éléments de $K$ . Soit $x$ un élément quelconque de $K$ (qui est non vide par hypothèse). Puisque $u(K) \subset K$ , on montre par une récurrence immédiate que pour tout $k \in \mathbb{N}$ , l'itéré $u^k(x)$ appartient à $K$ . On définit alors, pour tout $N \in \mathbb{N}$ , la moyenne de Cesàro : $v_N = \frac{1}{N+1} \sum_{k=0}^{N} u^k(x)$ L'élément $v_N$ est une combinaison convexe des points $u^0(x), u^1(x), \dots, u^N(x)$ . En effet, les coefficients sont tous égaux à $\frac{1}{N+1} \geq 0$ et leur somme vaut : $\sum_{k=0}^{N} \frac{1}{N+1} = \frac{N+1}{N+1} = 1$ Puisque $K$ est un ensemble convexe contenant tous les $u^k(x)$ , on en déduit que : $\boxed{\forall N \in \mathbb{N}, v_N \in K}$
Exploitation de la compacité. La suite $(v_N)_{N \in \mathbb{N}}$ est une suite d'éléments du compact $K$ . D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, on peut extraire de cette suite une sous-suite $(v_{\phi(N)})_{N \in \mathbb{N}}$ qui converge vers un élément $x^* \in E$ . Comme $K$ est un fermé (car compact dans un espace séparé), la limite $x^*$ appartient à $K$ : $\boxed{x^* \in K}$
Étude de l'écart entre $v_N$ et son image. Calculons la différence $u(v_N) - v_N$ en utilisant la linéarité de $u$ : $u(v_N) = \frac{1}{N+1} \sum_{k=0}^{N} u^{k+1}(x) = \frac{1}{N+1} \sum_{j=1}^{N+1} u^{j}(x)$ Par télescopage, on obtient : $u(v_N) - v_N = \frac{1}{N+1} \left( \sum_{k=1}^{N+1} u^k(x) - \sum_{k=0}^{N} u^k(x) \right)$ D'où : $u(v_N) - v_N = \frac{1}{N+1} \left( u^{N+1}(x) - x \right)$
Passage à la limite. Puisque $K$ est compact, il est borné. Notons $M$ un majorant de la norme des éléments de $K$ . Comme $u^{N+1}(x) \in K$ et $x \in K$ , on a par l'inégalité triangulaire : $\|u^{N+1}(x) - x\| \leq \|u^{N+1}(x)\| + \|x\| \leq 2M$ On en déduit l'estimation : $\|u(v_N) - v_N\| \leq \frac{2M}{N+1}$ Par le théorème des gendarmes, il vient : $\lim_{N \to +\infty} \left( u(v_N) - v_N \right) = 0$ En dimension finie, l'endomorphisme $u$ est continu. En passant à la limite selon la sous-suite extraite : $u(x^*) - x^* = \lim_{N \to +\infty} \left( u(v_{\phi(N)}) - v_{\phi(N)} \right) = 0$ On conclut donc que $x^*$ est un point fixe de $u$ dans $K$ : $\boxed{u(x^*) = x^*}$

L'erreur classique consiste à oublier de justifier que $v_N \in K$ . La convexité est ici absolument cruciale : sans elle, la moyenne d'éléments d'un ensemble stable n'est pas nécessairement dans cet ensemble (pensez à une rotation sur un cercle).