Morphismes de groupes continus du cercle

Résolution.

1. Soit $f : U \to \mathbb{R}^*$ définie par $f(z) = \det(\varphi(z))$. $f$ est un morphisme de groupes continu comme composée d'applications continues. $U$ est un ensemble compact, donc son image $f(U)$ par une application continue est un compact de $\mathbb{R}^*$. En particulier, $f(U)$ est borné dans $\mathbb{R}$. Pour tout $z \in U$ et tout $k \in \mathbb{Z}$, on a $f(z^k) = f(z)^k$. Si $|f(z)| \neq 1$, alors la suite $(|f(z)|^k)_{k \in \mathbb{Z}}$ ne peut pas être bornée (elle tend vers $+\infty$ en $+\infty$ ou en $-\infty$). Ainsi, $\forall z \in U, |f(z)| = 1$. Comme $f(z) \in \mathbb{R}^*$, on a $f(z) \in \{-1, 1\}$. Or $U$ est connexe par arcs (c'est le cercle unité), donc $f(U)$ est un connexe de $\{-1, 1\}$. Comme $f(1) = 1$ (car $f$ est un morphisme), on en déduit :
   $$\boxed{\forall z \in U, \det(\varphi(z)) = 1}$$

2. Munissons $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ d'une norme d'algèbre $\|\cdot\|$. Puisque $\varphi$ est continue sur le compact $U$, l'image $\varphi(U)$ est bornée. Il existe donc $M > 0$ tel que :
   $$\forall z \in U, \forall k \in \mathbb{Z},   \|\varphi(z)^k\| = \|\varphi(z^k)\| \leq M$$
   Soit $\lambda \in \mathbb{C}$ une valeur propre de $\varphi(z)$. Alors $\lambda^k$ est une valeur propre de $\varphi(z)^k$. Le rayon spectral $\rho(A)$ d'une matrice $A$ est majoré par n'importe quelle norme d'algèbre de $A$. D'où $|\lambda^k| \leq \|\varphi(z)^k\| \leq M$, ce qui donne $|\lambda|^k \leq M$ pour tout $k \in \mathbb{Z}$. Cela impose nécessairement :
   $$\boxed{\forall \lambda \in \text{Sp}(\varphi(z)), |\lambda| = 1}$$

3. Supposons par l'absurde qu'il existe $z \in U$ tel que $A = \varphi(z)$ ne soit pas diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$. Comme le polynôme caractéristique est scindé sur $\mathbb{C}$, il existe une valeur propre $\lambda$ telle que la taille de l'un des blocs de la décomposition de Dunford est strictement supérieure à 1. Plus simplement, il existe un vecteur $v$ tel que $(A - \lambda I_n)^2 v = 0$ mais $w = (A - \lambda I_n)v \neq 0$. On a alors $Av = \lambda v + w$ et $Aw = \lambda w$. Par récurrence :
   $$A^k v = \lambda^k v + k \lambda^{k-1} w$$
   En prenant la norme (dans $\mathbb{C}^n$), on a par inégalité triangulaire :
   $$\|A^k v\| \geq |k| |\lambda|^{k-1} \|w\| - |\lambda|^k \|v\|$$
   Puisque $|\lambda| = 1$, on obtient $\|A^k v\| \geq |k| \cdot \|w\| - \|v\|$. Comme $w \neq 0$, cette quantité tend vers $+\infty$ quand $k \to +\infty$. Ceci contredit le fait que la suite $(\varphi(z)^k)_{k \in \mathbb{N}}$ est bornée. Ainsi :
   $$\boxed{\forall z \in U, \varphi(z) \text{ est diagonalisable sur } \mathbb{C}}$$

4. Étape 1 : Cas complexe. Le groupe $U$ est commutatif, donc pour tous $z, w \in U$, on a $zw = wz$, d'où :
   $$\varphi(z)\varphi(w) = \varphi(zw) = \varphi(wz) = \varphi(w)\varphi(z)$$
   Les matrices $(\varphi(z))_{z \in U}$ forment une famille de matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ qui commutent deux à deux et sont toutes diagonalisables. Il existe donc $P \in GL_n(\mathbb{C})$ telle que pour tout $z \in U$ :
   $$P^{-1}\varphi(z)P = \text{Diag}(\lambda_1(z), \dots, \lambda_n(z))$$
   Chaque $\lambda_j : U \to U$ est un morphisme continu. On sait que les morphismes continus de $U$ dans $U$ sont de la forme $z \mapsto z^{k_j}$ avec $k_j \in \mathbb{Z}$. Étape 2 : Cas réel. Si $\varphi$ est à valeurs dans $GL_n(\mathbb{R})$, le polynôme caractéristique de $\varphi(z)$ est réel. Les valeurs propres non réelles (de module 1) viennent par paires conjuguées $(e^{i\theta}, e^{-i\theta})$. Après changement de base dans $\mathbb{R}^n$, $\varphi(z)$ s'écrit par blocs diagonaux constitués de : - Blocs $1 \times 1$ de la forme $(1)$ (car $\det = 1$ et les valeurs propres sont de module 1). - Blocs $2 \times 2$ de la forme $R(k_j \theta)$ où $z = e^{i\theta}$, avec $R(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha$
   \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}. En conclusion, $\varphi(e^{i\theta})$ est semblable dans $GL_n(\mathbb{R})$ à une matrice :
   $$\boxed{\text{Diag}(I_p, -I_q, R(k_1 \theta), \dots, R(k_m \theta))}$$
   Compte tenu de la continuité et de $\varphi(1)=I_n$, les blocs $-I_q$ ne peuvent pas apparaître (ils ne sont pas dans la composante neutre ou forceraient un saut de $1$ à $-1$). De même pour les blocs $(-1)$ isolés.