Composantes connexes des matrices cycliques

Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels non nuls. On considère l'ensemble des matrices de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ dont la puissance $p$ -ième est l'identité, noté :

\mathcal{S} = \left\{M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}) \mid M^{p}=I_{n}\right\}

Déterminer le nombre de composantes connexes par arcs de

\mathcal{S}

pour la topologie usuelle.

1.

Commencer par justifier que toute matrice $M \in \mathcal{S}$ est diagonalisable et préciser ses valeurs propres possibles.

2.

Identifier les classes de similitude au sein de $\mathcal{S}$ en utilisant les multiplicités des valeurs propres.

3.

Utiliser la connexité par arcs de $GL_n(\mathbb{C})$ pour montrer que chaque classe de similitude est connexe par arcs.

4.

Montrer que deux matrices ayant des polynômes caractéristiques différents appartiennent à des composantes connexes distinctes en exploitant la continuité des coefficients du polynôme caractéristique.

5.

Conclure par un dénombrement combinatoire.

Idées clés

•

Diagonalisabilité par polynôme annulateur à racines simples.

•

Caractérisation des classes de similitude par le spectre.

•

Connexité par arcs du groupe linéaire $GL_n(\mathbb{C})$ .

•

Continuité des applications coefficients du polynôme caractéristique.

1. Analyse de la structure des matrices de $\mathcal{S$ $S$ .}

Soit $M \in \mathcal{S}$ . Par définition, le polynôme $P(X) = X^p - 1$ est un polynôme annulateur de $M$ .

Ce polynôme est scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$ . Ses racines sont les racines $p$ -ièmes de l'unité :

\omega_k = e^{\frac{2i\pi k}{p}},   k \in \{0, 1, \dots, p-1\}

Puisque $M$ admet un polynôme annulateur scindé à racines simples, on en déduit que :

\boxed{ \text{Toute matrice } M \in \mathcal{S} \text{ est diagonalisable dans } \mathcal{M}_n(\mathbb{C}). }

Le spectre de $M$ est inclus dans l'ensemble $\{\omega_0, \omega_1, \dots, \omega_{p-1}\}$ .

2. Identification des classes de similitude.

Soit $M \in \mathcal{S}$ . Notons $n_k$ la multiplicité de la valeur propre $\omega_k$ pour $M$ (avec $n_k = 0$ si $\omega_k$ n'est pas valeur propre).

Comme $M$ est diagonalisable, la somme des multiplicités est égale à la dimension de l'espace :

\sum_{k=0}^{p-1} n_k = n

Deux matrices de $\mathcal{S}$ sont semblables si et seulement si elles ont le même polynôme caractéristique, ce qui revient ici à dire qu'elles ont les mêmes multiplicités $(n_0, n_1, \dots, n_{p-1})$ .

Soit $\mathcal{C}_{(n_k)}$ la classe de similitude associée à un $p$ -uplet $(n_0, \dots, n_{p-1})$ tel que $\sum n_k = n$ . On a :

\mathcal{S} = \bigcup_{\sum n_k = n} \mathcal{C}_{(n_k)}

3. Connexité par arcs des classes de similitude.

Soit $\mathcal{C}$ une classe de similitude dans $\mathcal{S}$ . Il existe une matrice diagonale $D \in \mathcal{S}$ telle que :

\mathcal{C} = \{ P D P^{-1} \mid P \in GL_n(\mathbb{C}) \}

On sait que $GL_n(\mathbb{C})$ est connexe par arcs.

Soient $A, B \in \mathcal{C}$ . Il existe $P, Q \in GL_n(\mathbb{C})$ tels que $A = PDP^{-1}$ et $B = QDQ^{-1}$ .

Soit $\gamma : [0,1] \to GL_n(\mathbb{C})$ un chemin continu reliant $P$ à $Q$ . Alors le chemin $\Gamma$ défini par :

\Gamma(t) = \gamma(t) D \gamma(t)^{-1}

est un chemin continu dans

\mathcal{C}

reliant

A

à

B

.

\boxed{ \text{Chaque classe de similitude } \mathcal{C}_{(n_k)} \text{ est connexe par arcs.} }

4. Séparation des classes de similitude.

Considérons l'application $\chi : \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \to \mathbb{C}_n[X]$ qui à une matrice associe son polynôme caractéristique. Cette application est continue car ses coefficients sont des polynômes en les coefficients de la matrice.

Sur $\mathcal{S}$ , l'image par $\chi$ est un ensemble fini de polynômes (ceux dont les racines sont dans $\{\omega_k\}$ ).

Si deux matrices $A$ et $B$ appartiennent à la même composante connexe par arcs de $\mathcal{S}$ , alors par continuité de $\chi$ , l'image d'un chemin reliant $A$ à $B$ doit être un chemin continu dans l'ensemble des images.

Comme l'ensemble des images est fini (donc discret), ce chemin doit être constant.

Ainsi, deux matrices de $\mathcal{S}$ sont dans la même composante connexe si et seulement si elles ont le même polynôme caractéristique.

Les composantes connexes par arcs de $\mathcal{S}$ sont exactement les classes de similitude $\mathcal{C}_{(n_k)}$ .

5. Dénombrement final.

Le nombre de composantes connexes est le nombre de solutions entières naturelles à l'équation :

n_0 + n_1 + \dots + n_{p-1} = n

D'après le résultat classique de combinatoire (méthode des "étoiles et barres"), ce nombre est :

\boxed{ N = \binom{n+p-1}{p-1} }

Ne pas oublier que l'on travaille sur $\mathbb{C}$ . Sur $\mathbb{R}$ , le résultat serait très différent car $GL_n(\mathbb{R})$ n'est pas connexe (il a deux composantes connexes selon le signe du déterminant) et les matrices ne sont pas forcément diagonalisables.