Topologie du groupe spécial linéaire

Soit $n$ un entier naturel non nul et $\mathbb{K}$ désignant le corps $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ .

On considère l'ensemble des matrices de déterminant unité, noté :

SL_n(\mathbb{K}) = \{ M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \mid \det(M) = 1 \}

Déterminer l'adhérence de $SL_n(\mathbb{K})$ au sein de l'espace vectoriel normé $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ .
Déterminer l'intérieur de $SL_n(\mathbb{K})$ .
L'ensemble $SL_n(\mathbb{K})$ est-il connexe par arcs ?

1.

Pour l'adhérence, utiliser la continuité de l'application déterminant.

2.

Pour l'intérieur, considérer une perturbation de la forme $A + t I_n$ et exploiter la nature polynomiale du déterminant.

3.

Pour la connexité par arcs, utiliser le fait que $SL_n(\mathbb{K})$ est engendré par les matrices de transvection.

Idées clés

•

Image réciproque d'un fermé par une application continue.

•

Propriété des racines d'un polynôme non nul.

•

Génération du groupe spécial linéaire par les transvections.

Résolution.

Étude de l'adhérence. L'application $\det : \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \to \mathbb{K}$ est une fonction polynomiale des coefficients de la matrice. En dimension finie, toute application polynomiale est continue. Par définition, on a l'égalité : $SL_n(\mathbb{K}) = \det^{-1}(\{1\})$ Comme le singleton $\{1\}$ est un fermé de $\mathbb{K}$ et que l'application déterminant est continue, l'image réciproque $SL_n(\mathbb{K})$ est un fermé de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ . Or, l'adhérence d'un ensemble fermé est l'ensemble lui-même. On en conclut : $\boxed{\overline{SL_n(\mathbb{K})} = SL_n(\mathbb{K})}$
Étude de l'intérieur. Supposons par l'absurde que l'intérieur de $SL_n(\mathbb{K})$ ne soit pas vide. Il existerait alors une matrice $A \in SL_n(\mathbb{K})$ et un réel $r > 0$ tel que la boule ouverte $B(A, r)$ soit incluse dans $SL_n(\mathbb{K})$ . Pour tout scalaire $t$ tel que $\|t I_n\| < r$ (soit $|t| < \frac{r}{\|I_n\|}$ ), la matrice $M_t = A + t I_n$ appartiendrait à $SL_n(\mathbb{K})$ . Cela impliquerait que pour tout $t$ dans un voisinage de $0$ : $\det(A + t I_n) = 1$ Considérons alors le polynôme $P(t) = \det(A + t I_n) - 1$ . D'après ce qui précède, ce polynôme possède une infinité de racines (tout un intervalle autour de 0). Un polynôme possédant une infinité de racines est nécessairement le polynôme nul. Cependant, en examinant le terme de plus haut degré de $Q(t) = \det(A + t I_n)$ , on remarque que : $\det(A + t I_n) = t^n + \dots + \det(A)$ Ainsi, $P(t)$ est un polynôme de degré $n \ge 1$ . Un tel polynôme ne peut pas être nul. Cette contradiction montre que : $\boxed{\text{Int}(SL_n(\mathbb{K})) = \emptyset}$
Étude de la connexité par arcs. On utilise le résultat classique d'algèbre linéaire selon lequel le groupe $SL_n(\mathbb{K})$ $S L_{n} (K)$ est engendré par les matrices de transvection. Ces matrices sont de la forme $T_{i,j}(\lambda) = I_n + \lambda E_{i,j}$ $T_{i, j} (λ) = I_{n} + λ E_{i, j}$ pour $i \neq j$ $i \neq = j$ et $\lambda \in \mathbb{K}$ $λ \in K$ . Soit $M \in SL_n(\mathbb{K})$ $M \in S L_{n} (K)$ . Il existe des couples d'indices $(i_1, j_1), \dots, (i_k, j_k)$ $(i_{1}, j_{1}), \dots, (i_{k}, j_{k})$ et des scalaires $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ $λ_{1}, \dots, λ_{k}$ tels que :
$M = T_{i_1,j_1}(\lambda_1) \times T_{i_2,j_2}(\lambda_2) \times \dots \times T_{i_k,j_k}(\lambda_k)$
On définit alors l'application $\gamma : [0, 1] \to \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ $γ : [0, 1] \to M_{n} (K)$ par :
$\forall t \in [0,1], \gamma(t) = T_{i_1,j_1}(t\lambda_1) \times T_{i_2,j_2}(t\lambda_2) \times \dots \times T_{i_k,j_k}(t\lambda_k)$
- $\gamma$ est continue comme produit de fonctions continues (chaque $t \mapsto T_{i,j}(t\lambda)$ est affine).
- Pour tout $t \in [0, 1]$ , $\det(\gamma(t)) = \prod_{m=1}^k \det(T_{i_m,j_m}(t\lambda_m))$ . Comme le déterminant d'une transvection vaut toujours 1, on a $\gamma(t) \in SL_n(\mathbb{K})$ pour tout $t$ .
- $\gamma(0) = I_n \times I_n \times \dots \times I_n = I_n$ .
- $\gamma(1) = M$ .
Ainsi, toute matrice $M$ $M$ de $SL_n(\mathbb{K})$ $S L_{n} (K)$ peut être reliée à $I_n$ $I_{n}$ par un chemin continu tracé dans $SL_n(\mathbb{K})$ $S L_{n} (K)$ . Par transitivité, toutes les matrices de $SL_n(\mathbb{K})$ $S L_{n} (K)$ peuvent être reliées entre elles.
$\boxed{SL_n(\mathbb{K}) \text{ est connexe par arcs.}}$

Attention à ne pas confondre $SL_n(\mathbb{R})$ et $GL_n(\mathbb{R})$ . Le groupe $GL_n(\mathbb{R})$ n'est pas connexe par arcs car l'image du déterminant est $\mathbb{R}^*$ , qui n'est pas connexe. En revanche, $SL_n(\mathbb{R})$ a pour image $\{1\}$ par le déterminant, ce qui ne constitue pas un obstacle à la connexité.