Uniformité de l'ordre des matrices entières

Soit $n \in \mathbb{N}$ avec $n \geq 2$ . On s'intéresse à l'ensemble des matrices entières de dimension $n$ ayant un ordre fini :

E_{n}=\left\{M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z}) \mid \exists k \in \mathbb{N}^{*}, M^{k}=I_{n}\right\}

Pour

M \in E_n

, on note

\omega(M)

son ordre (le plus petit

k \geq 1

tel que

M^k = I_n

).

Montrer que l'ensemble des polynômes caractéristiques des matrices de $E_n$ est fini.
En déduire qu'il existe un entier $\gamma_n \in \mathbb{N}^*$ tel que : $\forall M \in E_n, M^{\gamma_n} = I_n$
L'ensemble $\{\omega(M) \mid M \in E_n\}$ est-il fini ? Justifier.

1.

Pour la question 1, exprimer les coefficients du polynôme caractéristique en fonction des valeurs propres. Rappeler que ces valeurs propres sont sur le cercle unité.

2.

Pour la question 2, utiliser le fait qu'il n'y a qu'un nombre fini de spectres possibles.

3.

Pour la question 3, l'ordre d'une matrice diagonalisable est le PPCM des ordres de ses valeurs propres.

Idées clés

•

Le polynôme caractéristique d'une matrice entière est à coefficients entiers.

•

Les racines d'une matrice $M \in E_n$ sont des racines de l'unité (donc de module 1).

•

Il n'existe qu'un nombre fini de polynômes de $\mathbb{Z}[X]$ de degré $n$ dont les racines sont de module 1.

Résolution.

Soit $M \in E_n$ . Son polynôme caractéristique $\chi_M$ s'écrit : $\chi_M(X) = X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots + a_1 X + a_0$ Les coefficients $a_k$ sont des entiers (car $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ ). Soient $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ les valeurs propres de $M$ dans $\mathbb{C}$ . Puisque $M^k = I_n$ , chaque $\lambda_j$ vérifie $\lambda_j^k = 1$ , donc $|\lambda_j| = 1$ . Les relations entre coefficients et racines (formules de Viète) donnent : $a_{n-k} = (-1)^k \sum_{1 \leq i_1 < \dots < i_k \leq n} \lambda_{i_1} \dots \lambda_{i_k}$ Par l'inégalité triangulaire : $|a_{n-k}| \leq \sum_{1 \leq i_1 < \dots < i_k \leq n} |\lambda_{i_1}| \dots |\lambda_{i_k}| = \sum_{1 \leq i_1 < \dots < i_k \leq n} 1 = \binom{n}{k}$ Chaque coefficient $a_{n-k}$ est un entier compris dans l'intervalle $\left[ -\binom{n}{k}, \binom{n}{k} \right]$ . Il n'y a qu'un nombre fini de choix possibles pour chaque $a_i$ . Ainsi, l'ensemble des polynômes caractéristiques $\mathcal{P} = \{ \chi_M \mid M \in E_n \}$ est \boxed{\text{fini}}.
Soit $S$ l'ensemble de toutes les racines complexes des polynômes de $\mathcal{P}$ . Comme $\mathcal{P}$ est fini et que chaque polynôme a $n$ racines, $S$ est un ensemble fini. Chaque $\lambda \in S$ est une racine de l'unité. Soit $k_\lambda$ son ordre (le plus petit entier tel que $\lambda^{k_\lambda} = 1$ ). Toute matrice $M \in E_n$ est diagonalisable sur $\mathbb{C}$ (car annulée par $X^k-1$ ). Ses valeurs propres appartiennent à $S$ . Posons $\gamma_n$ le PPCM des ordres des éléments de $S$ : $\boxed{\gamma_n = \text{ppcm} \{ k_\lambda \mid \lambda \in S \}}$ Pour toute matrice $M \in E_n$ , ses valeurs propres $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ vérifient $\lambda_i^{\gamma_n} = 1$ par définition du PPCM. Comme $M$ est diagonalisable, il existe $P \in GL_n(\mathbb{C})$ telle que $M = P \Delta P^{-1}$ avec $\Delta = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ . On a alors $M^{\gamma_n} = P \Delta^{\gamma_n} P^{-1} = P I_n P^{-1} = I_n$ . L'entier $\gamma_n$ convient.
L'ensemble des ordres $\Omega = \{ \omega(M) \mid M \in E_n \}$ est un ensemble d'entiers naturels. D'après la question précédente, pour tout $M \in E_n$ , $\omega(M)$ divise $\gamma_n$ . L'ensemble des diviseurs d'un entier fixé est fini. Par conséquent, \boxed{\Omega \text{ est fini}}.

Ne pas confondre "ensemble des matrices" (qui est infini, par exemple les matrices de permutation) et "ensemble des polynômes caractéristiques" (qui est fini).