Périodicité des matrices entières bornées

Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère une matrice $A$ appartenant à $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$ .

On suppose que la suite de ses puissances $\left(A^{k}\right)_{k \in \mathbb{N}}$ est une suite bornée dans l'espace vectoriel $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ .

Démontrer que la suite $\left(A^k\right)_{k \in \mathbb{N}}$ est périodique.

1.

Remarquer que pour tout $k \in \mathbb{N}$ , la matrice $A^k$ est à coefficients entiers.

2.

Utiliser le fait que dans un espace de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.

3.

Considérer l'ensemble des valeurs prises par la suite et montrer que cet ensemble est fini.

4.

Utiliser l'inversibilité de $A$ pour conclure à la périodicité à partir de la répétition d'une valeur.

Idées clés

•

Discrétion de $\mathbb{Z}$ : un ensemble de matrices à coefficients entiers qui est borné est nécessairement fini.

•

Principe des tiroirs : une suite à valeurs dans un ensemble fini finit par se répéter.

•

Structure de groupe : l'inversibilité permet de "simplifier" les puissances.

Résolution.

Considérons l'espace vectoriel $E = \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ , qui est de dimension finie $n^2$ . Toutes les normes sur $E$ sont équivalentes. On choisit la norme "infini" sur les coefficients :

\|M\|_\infty = \max_{1 \leq i,j \leq n} |m_{i,j}|

Par hypothèse, la suite $(A^k)_{k \in \mathbb{N}}$ est bornée. Il existe donc un réel $M > 0$ tel que :

\forall k \in \mathbb{N},   \|A^k\|_\infty \leq M

Notons $\mathcal{S} = \{ A^k \mid k \in \mathbb{N} \}$ l'ensemble des valeurs prises par la suite. Comme $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ , le produit de matrices à coefficients entiers reste à coefficients entiers. Ainsi, par une récurrence immédiate :

\forall k \in \mathbb{N},   A^k \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})

L'ensemble $\mathcal{S}$ est donc inclus dans l'ensemble suivant :

\mathcal{E}_M = \{ B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) \mid \|B\|_\infty \leq M \}

Un élément $B$ de $\mathcal{E}_M$ a ses $n^2$ coefficients dans l'ensemble $\mathbb{Z} \cap [-M, M]$ . Cet ensemble d'entiers est fini (il contient au plus $\lfloor 2M \rfloor + 1$ éléments). Par conséquent, $\mathcal{E}_M$ est un ensemble fini comme produit cartésien d'ensembles finis.

On en déduit que l'ensemble des valeurs de la suite, $\mathcal{S}$ , est fini :

\boxed{\text{Card}(\mathcal{S}) < +\infty}

Puisque la suite $(A^k)_{k \in \mathbb{N}}$ prend ses valeurs dans un ensemble fini, elle ne peut pas être injective. Il existe donc deux indices distincts $p$ et $q$ , par exemple $0 \leq p < q$ , tels que :

\boxed{A^p = A^q}

Comme $A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$ , la matrice $A$ est inversible dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ . En multipliant l'égalité précédente à gauche par $(A^{-1})^p$ (qui existe bien), on obtient :

(A^{-1})^p A^p = (A^{-1})^p A^q

Ce qui se simplifie en :

I_n = A^{q-p}

Posons $T = q - p$ . On a $T \in \mathbb{N}^*$ et $A^T = I_n$ . Pour tout $k \in \mathbb{N}$ , on a alors :

A^{k+T} = A^k \cdot A^T = A^k \cdot I_n = A^k

Conclusion : La suite $(A^k)_{k \in \mathbb{N}}$ est périodique de période $T$ (ou d'un diviseur de $T$ ).

\boxed{\forall k \in \mathbb{N},   A^{k+T} = A^k}

Attention à ne pas oublier l'hypothèse $A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$ . Si la matrice n'était pas inversible, la suite pourrait être "ultimement périodique" (stationnaire à partir d'un certain rang) sans être périodique dès le rang $0$ . Ici, l'inversibilité garantit que l'on peut remonter jusqu'à l'identité.