Rang minimal et nombres algébriques

Soit $\alpha$ un nombre complexe algébrique de degré $d$ sur $\mathbb{Q}$ . On s'intéresse aux matrices à coefficients rationnels de taille $n \in \mathbb{N}^*$ .

Déterminer la valeur minimale du rang de la matrice $M - \alpha I_{n}$ lorsque $M$ parcourt l'ensemble $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Q})$ .

1.

Rappeler qu'un nombre $\alpha$ est algébrique de degré $d$ si son polynôme minimal $P_\alpha$ sur $\mathbb{Q}$ est de degré $d$ .

2.

Pour la borne inférieure, considérer le lien entre le polynôme caractéristique d'une matrice $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Q})$ et le polynôme $P_\alpha$ si $\alpha$ est valeur propre de $M$ .

3.

Utiliser la décomposition de $\mathbb{Q}^n$ en sous-espaces stables par $M$ dont les endomorphismes induits ont pour matrices des matrices compagnons.

4.

Pour la borne supérieure, construire une matrice par blocs en utilisant la matrice compagnon de $P_\alpha$ .

Idées clés

•

Polynôme minimal d'un nombre algébrique et irréductibilité sur $\mathbb{Q}$ .

•

Structure des sous-espaces stables : décomposition en blocs cycliques (matrices compagnons).

•

Lien entre multiplicité géométrique et nombre de blocs dans la décomposition rationnelle.

Résolution.

Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Q})$ . On note $r = \text{rg}(M - \alpha I_n)$ le rang de la matrice dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ .

D'après le théorème du rang, si l'on note $g = \dim_{\mathbb{C}} \ker(M - \alpha I_n)$ la multiplicité géométrique de $\alpha$ en tant que valeur propre de $M$ , on a :

\text{rg}(M - \alpha I_n) = n - g

1. Recherche d'une borne inférieure sur le rang.

Supposons que $g > 0$ , c'est-à-dire que $\alpha$ est une valeur propre de $M$ .

Le polynôme caractéristique $\chi_M$ appartient à $\mathbb{Q}[X]$ . Comme $\alpha$ est une racine de $\chi_M$ et que $P_\alpha$ est le polynôme minimal de $\alpha$ sur $\mathbb{Q}$ (donc irréductible sur $\mathbb{Q}$ ), on sait que $P_\alpha$ divise $\chi_M$ .

De manière plus précise, il existe une base de $\mathbb{Q}^n$ dans laquelle la matrice de l'endomorphisme associé à $M$ est diagonale par blocs :

\text{mat}(u) = \text{diag}(C_{Q_1}, C_{Q_2}, \dots, C_{Q_k})

où chaque

C_{Q_i}

est la matrice compagnon d'un polynôme

Q_i \in \mathbb{Q}[X]

tel que

\sum_{i=1}^k \deg(Q_i) = n

.

L'espace propre de $M$ associé à $\alpha$ dans $\mathbb{C}^n$ est la somme directe des espaces propres des blocs $C_{Q_i}$ associés à $\alpha$ . Or, pour une matrice compagnon $C_Q$ , la dimension de n'importe quel sous-espace propre est au plus 1.

Ainsi, le bloc $C_{Q_i}$ possède $\alpha$ comme valeur propre si et seulement si $Q_i(\alpha) = 0$ . Comme $Q_i \in \mathbb{Q}[X]$ , cela équivaut à dire que $P_\alpha$ divise $Q_i$ .

Si $P_\alpha$ divise $Q_i$ , alors $\deg(Q_i) \ge \deg(P_\alpha) = d$ .

Soit $m$ le nombre d'indices $i$ tels que $P_\alpha$ divise $Q_i$ . On a alors $g = m$ (car chaque bloc contribue au plus pour 1 à la dimension de l'espace propre). On en déduit :

n = \sum_{i=1}^k \deg(Q_i) \ge \sum_{P_\alpha | Q_i} \deg(Q_i) \ge m \cdot d = g \cdot d

On obtient donc l'inégalité fondamentale :

\boxed{g \le \left\lfloor \frac{n}{d} \right\rfloor}

En réinjectant ce résultat dans l'expression du rang, on trouve :

\text{rg}(M - \alpha I_n) = n - g \ge n - \left\lfloor \frac{n}{d} \right\rfloor

2. Construction d'une matrice atteignant cette borne.

Effectuons la division euclidienne de $n$ par $d$ : $n = qd + r$ avec $0 \le r < d$ .

Considérons la matrice $C \in \mathcal{M}_d(\mathbb{Q})$ qui est la matrice compagnon du polynôme $P_\alpha$ . Par définition, $\chi_C = P_\alpha$ , donc $\alpha$ est valeur propre de $C$ .

Comme $\alpha$ est une racine simple de $P_\alpha$ (car $P_\alpha$ est irréductible sur $\mathbb{Q}$ et de caractéristique nulle), on a $\dim \ker(C - \alpha I_d) = 1$ . Le rang de $C - \alpha I_d$ est donc $d - 1$ .

Définissons la matrice $M$ par blocs :

M = \begin{pmatrix} C & & & & \ddots & & & & C & & & & I_r \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Q})

où le bloc

C

est répété

q

fois.

Calculons le rang de $M - \alpha I_n$ :

\text{rg}(M - \alpha I_n) = q \cdot \text{rg}(C - \alpha I_d) + \text{rg}(I_r - \alpha I_r)

Comme le degré de $\alpha$ est $d$ , si $d > 1$ , alors $\alpha \notin \mathbb{Q}$ , donc $\alpha \neq 1$ . Si $d=1$ , alors $\alpha \in \mathbb{Q}$ et $\alpha = P_\alpha$ . Dans tous les cas, pour le bloc $I_r$ , comme $r < d$ , $\alpha$ ne peut pas être racine d'un polynôme de degré $r$ à coefficients rationnels (sauf si $r=0$ ). Donc $I_r - \alpha I_r$ est inversible, de rang $r$ .

On a alors :

\text{rg}(M - \alpha I_n) = q(d-1) + r = (qd + r) - q = n - q

Comme $q = \lfloor n/d \rfloor$ , la borne est atteinte.

Conclusion :

\boxed{\min_{M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Q})} \text{rg}(M - \alpha I_n) = n - \left\lfloor \frac{n}{d} \right\rfloor}

L'erreur classique est d'oublier que le rang est calculé sur $\mathbb{C}$ . Il faut bien distinguer les coefficients de la matrice (dans $\mathbb{Q}$ ) et la valeur propre $\alpha$ (dans $\mathbb{C}$ ). Un autre piège est de supposer $n \ge d$ sans traiter le cas général ; si $n < d$ , le minimum est $n$ .