Inversibilité et arithmétique matricielle

Soient $A$ et $B$ deux matrices appartenant à $\mathcal{M}_{2}(\mathbb{Z})$ .

On suppose que pour tout entier $k \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ , la matrice $A + kB$ est inversible dans $\mathcal{M}_{2}(\mathbb{Z})$ .

Démontrer que la matrice $A + 5B$ est également inversible dans $\mathcal{M}_{2}(\mathbb{Z})$ .

1.

Rappeler la condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice à coefficients entiers soit inversible dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ .

2.

Étudier la fonction $f : x \mapsto \det(A + xB)$ en tant que polynôme. Quel est son degré maximal ?

3.

Utiliser le principe des tiroirs de Dirichlet sur les valeurs prises par ce polynôme aux points $0, 1, 2, 3$ et $4$ .

Idées clés

•

Caractérisation de l'inversibilité sur $\mathbb{Z}$ : $M \in GL_n(\mathbb{Z}) \iff \det(M) \in \{1, -1\}$ .

•

Propriété polynomiale du déterminant : $x \mapsto \det(A + xB)$ est un polynôme de degré au plus $n$ .

•

Principe des tiroirs : si l'on range $n$ objets dans $m$ tiroirs avec $n > m$ , au moins un tiroir contient deux objets.

Résolution.

Considérons l'application $P$ définie pour tout complexe $x$ par :

P(x) = \det(A + xB)

D'après la formule du déterminant (développement par rapport aux lignes ou formule de Leibniz), $P$ est un polynôme en $x$ .

Comme les matrices $A$ et $B$ sont de taille $2 \times 2$ , le degré de ce polynôme est limité :

\boxed{\deg(P) \le 2}

Une matrice $M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{Z})$ est inversible dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{Z})$ si et seulement si son déterminant est un élément inversible de l'anneau $\mathbb{Z}$ .

Les seuls éléments inversibles de $\mathbb{Z}$ sont $1$ et $-1$ . L'énoncé nous indique donc que :

\forall k \in \{0, 1, 2, 3, 4\},   P(k) \in \{1, -1\}

Nous disposons de 5 points d'évaluation $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ et de seulement 2 valeurs possibles pour $P(k)$ , à savoir $1$ ou $-1$ .

D'après le principe des tiroirs (ou principe de Dirichlet), l'une de ces deux valeurs doit être prise au moins trois fois par le polynôme $P$ .

Supposons, sans perte de généralité, que la valeur $1$ est prise au moins trois fois.

Il existe donc trois entiers distincts $i, j, l \in \{0, \dots, 4\}$ tels que :

P(i) = P(j) = P(l) = 1

Le polynôme $Q(x) = P(x) - 1$ possède alors au moins trois racines distinctes. Or, nous avons établi que :

\deg(Q) = \deg(P) \le 2

Un polynôme de degré au plus 2 possédant 3 racines distinctes est nécessairement le polynôme nul. On en déduit que :

\forall x \in \mathbb{C},   P(x) = 1

De la même manière, si la valeur $-1$ était celle répétée trois fois, on aurait $P(x) = -1$ pour tout $x$ .

Dans tous les cas, le polynôme $P$ est constant sur $\mathbb{C}$ . Il prend donc la même valeur en tout point, en particulier :

\det(A + 5B) = P(5) = P(0)

Comme $P(0) \in \{1, -1\}$ par hypothèse ( $A$ est inversible dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{Z})$ ), on en conclut que :

\boxed{\det(A + 5B) \in \{1, -1\}}

Conclusion : La matrice $A + 5B$ est inversible dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{Z})$ .

L'erreur classique est d'oublier que l'inversibilité dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ impose une contrainte beaucoup plus forte sur le déterminant que l'inversibilité dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ . Sur $\mathbb{R}$ , on a une infinité de valeurs possibles pour le déterminant, alors que sur $\mathbb{Z}$ , il n'y en a que deux.