Diagonalisation modulo p d'une matrice entière

Résolution.

1. Étude du polynôme minimal de $A$. Par hypothèse, la matrice $A$ est diagonalisable et ses valeurs propres sont des entiers. Notons $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ les valeurs propres distinctes de $A$. Puisque ces valeurs sont dans $\mathbb{Z}$, le polynôme minimal de $A$ s'écrit :
   $$\pi_A = \prod_{i=1}^k (X - \lambda_i)$$
   Ce polynôme $\pi_A$ appartient à $\mathbb{Z}[X]$. Il est scindé à racines simples dans $\mathbb{Z}[X]$ (et donc dans $\mathbb{Q}[X]$).
2. Construction d'un polynôme annulateur de $\bar{A$.} Soit $\varphi_p : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ le morphisme de réduction modulo $p$. On l'étend naturellement aux matrices et aux polynômes. On a $A \in \mathrm{M}_n(\mathbb{Z})$ et $\pi_A(A) = 0_n$. En appliquant la réduction modulo $p$ à cette égalité matricielle, on obtient :
   $$\overline{\pi_A}(\bar{A}) = \bar{0}_n$$
   Ainsi, le polynôme $\overline{\pi_A} \in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})[X]$ est un polynôme annulateur de $\bar{A}$. Comme $\pi_A = \prod_{i=1}^k (X - \lambda_i)$, sa réduction modulo $p$ est :
   $$\overline{\pi_A} = \prod_{i=1}^k (X - \bar{\lambda}_i)$$
   Ce polynôme est clairement scindé dans $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})[X]$.
3. Condition de diagonalisabilité de $\bar{A$.} La matrice $\bar{A}$ est diagonalisable sur $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ si elle possède un polynôme annulateur scindé à racines simples sur ce corps. Le polynôme $\overline{\pi_A}$ est scindé. Il possède des racines simples si et seulement si les $\bar{\lambda}_i$ sont deux à deux distincts dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.
4. Analyse des racines multiples modulo $p$. Puisque $\pi_A$ est à racines simples dans $\mathbb{C}$, il est premier avec son polynôme dérivé $\pi_A'$ dans $\mathbb{Q}[X]$. D'après le théorème de Bézout, il existe deux polynômes $U, V \in \mathbb{Q}[X]$ tels que :
   $$U \pi_A + V \pi_A' = 1$$
   En multipliant cette égalité par le produit des dénominateurs des coefficients de $U$ et $V$, on obtient l'existence de $U_1, V_1 \in \mathbb{Z}[X]$ et d'un entier $D \in \mathbb{Z}^*$ tels que :
   $$\boxed{ U_1 \pi_A + V_1 \pi_A' = D }$$
   Passons maintenant à la réduction modulo $p$ dans cette égalité :
   $$\overline{U_1} \cdot \overline{\pi_A} + \overline{V_1} \cdot \overline{\pi_A'} = \bar{D}$$
   Si le nombre premier $p$ ne divise pas $D$, alors $\bar{D} \neq \bar{0}$ dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. Dans ce cas, le PGCD de $\overline{\pi_A}$ et $\overline{\pi_A'}$ est égal à $1$ dans $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})[X]$. Cela implique que $\overline{\pi_A}$ n'a pas de racine multiple dans toute extension de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.
5. Conclusion. L'entier $D$ étant non nul, il n'admet qu'un nombre fini de diviseurs premiers. Pour tout nombre premier $p$ tel que $p \nmid D$, le polynôme $\overline{\pi_A}$ est un polynôme annulateur de $\bar{A}$, scindé et à racines simples sur $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.
   $$\boxed{\text{Pour presque tout } p, \bar{A} \text{ est diagonalisable.}}$$