Matrices d'ordre fini à coefficients entiers de Gauss

Résolution.

1. Soit $A \in \Omega$. Par hypothèse, $A$ est annulée par un polynôme de la forme $P(X) = X^p - 1$. Le polynôme $X^p - 1$ est scindé à racines simples dans $\mathbb{C}[X]$. Par conséquent, la matrice $A$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ et ses valeurs propres sont des racines $p$-ièmes de l'unité. Soient $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ les valeurs propres de $A$ (comptées avec multiplicité). On a pour tout $k \in \{1, \dots, n\}$, $|\lambda_k| = 1$. Le polynôme caractéristique de $A$ s'écrit :
   $$\chi_A(X) = \det(X I_n - A) = X^n + \sum_{k=1}^{n} a_k(A) X^{n-k}$$
   D'une part, puisque les coefficients de $A$ sont dans $\mathbb{Z}[i]$, la formule du déterminant assure que les coefficients $a_k(A)$ sont également dans $\mathbb{Z}[i]$. D'autre part, les coefficients $a_k(A)$ sont, au signe près, les fonctions symétriques élémentaires des valeurs propres :
   $$a_k(A) = (-1)^k \sum_{1 \le i_1 < \dots < i_k \le n} \lambda_{i_1} \dots \lambda_{i_k}$$
   On peut alors majorer le module de chaque coefficient en utilisant l'inégalité triangulaire et le fait que $|\lambda_j| = 1$ :
   $$|a_k(A)| \le \sum_{1 \le i_1 < \dots < i_k \le n} |\lambda_{i_1}| \dots |\lambda_{i_k}| = \binom{n}{k}$$
   On en déduit que pour tout $A \in \Omega$, le coefficient $a_k(A)$ appartient à l'ensemble :
   $$\mathcal{E}_k = \{ z \in \mathbb{Z}[i] \mid |z| \le \binom{n}{k} \}$$
   L'ensemble $\mathbb{Z}[i]$ est un réseau de $\mathbb{C}$ (isomorphe à $\mathbb{Z}^2$ en tant que groupe). Tout disque fermé de $\mathbb{C}$ ne contient qu'un nombre fini de points de ce réseau. Ainsi, chaque $\mathcal{E}_k$ est fini. Comme $\chi_A$ est déterminé par ses $n$ coefficients $(a_1(A), \dots, a_n(A))$, l'ensemble des polynômes caractéristiques possibles est inclus dans le produit cartésien $\mathcal{E}_1 \times \dots \times \mathcal{E}_n$, qui est fini.
   $$\boxed{ \{\chi_A \mid A \in \Omega\} \text{ est fini.} }$$

2. Notons $\mathcal{P} = \{\chi_A \mid A \in \Omega\}$ cet ensemble fini de polynômes. Soit $\Lambda$ l'ensemble des racines de tous les polynômes de $\mathcal{P}$ :
   $$\Lambda = \{ \lambda \in \mathbb{C} \mid \exists P \in \mathcal{P}, P(\lambda) = 0 \}$$
   Puisque chaque polynôme de $\mathcal{P}$ est de degré $n$ et que $\mathcal{P}$ est fini, l'ensemble $\Lambda$ est fini. D'après la question précédente, chaque élément $\lambda \in \Lambda$ est une racine de l'unité (car c'est une valeur propre d'une matrice $A \in \Omega$ telle que $A^p = I_n$). Pour chaque $\lambda \in \Lambda$, il existe donc un plus petit entier $r_\lambda \in \mathbb{N}^*$ tel que $\lambda^{r_\lambda} = 1$. Posons $q$ le plus petit commun multiple (PPCM) de tous les ordres $r_\lambda$ pour $\lambda$ parcourant l'ensemble fini $\Lambda$ :
   $$\boxed{ q = \mathrm{ppcm} \{ r_\lambda \mid \lambda \in \Lambda \} }$$
   Soit alors $A \in \Omega$. Ses valeurs propres sont toutes situées dans $\Lambda$. Par définition de $q$, pour toute valeur propre $\lambda$ de $A$, on a $\lambda^q = 1$. Comme nous avons établi en question 1 que $A$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, il existe une matrice de passage $P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ telle que :
   $$A = P \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n) P^{-1}$$
   En élevant à la puissance $q$, on obtient :
   $$A^q = P \mathrm{diag}(\lambda_1^q, \dots, \lambda_n^q) P^{-1}$$
   Puisque $\lambda_k^q = 1$ pour tout $k$, on a $\mathrm{diag}(\lambda_1^q, \dots, \lambda_n^q) = I_n$, d'où :
   $$\boxed{ \forall A \in \Omega, A^q = I_n }$$