Irréductibilité et structure de l'algèbre Q[A]

Résolution.

1. Soit $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)$ la base canonique de $\mathbb{Q}^n$. L'examen de la matrice $A$ montre que :
   $$Ae_1 = e_2,   Ae_2 = e_3,   \dots,   Ae_{n-1} = e_n,   \text{et}   Ae_n = 2e_1$$

   On en déduit par récurrence immédiate que pour tout $k \in \{0, \dots, n-1\}$, $A^k e_1 = e_{k+1}$. La famille $(e_1, Ae_1, \dots, A^{n-1}e_1)$ n'est autre que la base canonique, elle est donc libre. Cela implique que le polynôme minimal $\mu_A$ est de degré au moins $n$.

   De plus, $A^n e_1 = A(A^{n-1} e_1) = A e_n = 2e_1$, donc $(A^n - 2I)e_1 = 0$. Puisque $e_1$ est un vecteur cyclique (ses images successives engendrent l'espace), la relation $(A^n - 2I)e_1 = 0$ entraîne $A^n - 2I = 0$.

   Le polynôme $P(X) = X^n - 2$ est un polynôme annulateur de $A$, unitaire et de degré $n$. Par argument de degré :

   $$\boxed{\mu_A(X) = X^n - 2}$$

2. Dans $\mathbb{C}$, les valeurs propres de $A$ sont les racines du polynôme minimal $\mu_A$. On cherche donc les complexes $z$ tels que $z^n = 2$. En posant $z = r e^{i\theta}$, on obtient $r^n = 2$ et $n\theta \equiv 0 \pmod{2\pi}$.

   Le spectre complexe est donc :

   $$\boxed{\text{Sp}_{\mathbb{C}}(A) = \left\{ \sqrt[n]{2} e^{\frac{2ik\pi}{n}} \mid k \in \{0, \dots, n-1\} \right\}}$$

   Pour une valeur propre $\lambda \in \text{Sp}_{\mathbb{C}}(A)$, un vecteur $v = \sum_{j=1}^n x_j e_j$ est propre si $Av = \lambda v$, ce qui donne le système :

   $$\lambda x_1 = 2x_n,   \lambda x_2 = x_1,   \lambda x_3 = x_2,   \dots,   \lambda x_n = x_{n-1}$$
   On en tire $x_j = \frac{1}{\lambda^{j-1}} x_1$ pour tout $j$. Le sous-espace propre est donc la droite :
   $$\boxed{E_\lambda(A) = \text{Vect}\left( \sum_{j=1}^n \frac{1}{\lambda^{j-1}} e_j \right)}$$

3. Appliquons le critère d'Eisenstein au polynôme $P(X) = X^n - 2$ dans $\mathbb{Z}[X]$. Considérons le nombre premier $p = 2$.
   • $p$ divise tous les coefficients de $P$ sauf celui du terme de plus haut degré (ici $1$).
   • $p^2 = 4$ ne divise pas le coefficient constant (ici $-2$).

   D'après le critère d'Eisenstein, $P$ est irréductible dans $\mathbb{Z}[X]$. Par le lemme de Gauss, un polynôme de $\mathbb{Z}[X]$ irréductible dans $\mathbb{Z}[X]$ l'est aussi dans $\mathbb{Q}[X]$. Ainsi, $\mu_A$ est irréductible sur $\mathbb{Q}$.

4. $\mathbb{Q}[A]$ est une sous-algèbre de $\mathcal{M}_n(\mathbb{Q})$, c'est donc déjà un anneau commutatif unitaire. Soit $\Phi : \mathbb{Q}[X] \to \mathbb{Q}[A]$ le morphisme d'algèbres défini par $\Phi(P) = P(A)$. Par définition, $\ker \Phi$ est l'idéal engendré par le polynôme minimal $\mu_A$. D'après le théorème d'isomorphisme, $\mathbb{Q}[A] \simeq \mathbb{Q}[X] / (\mu_A)$.

   Or, $\mu_A$ est irréductible dans $\mathbb{Q}[X]$, qui est un anneau principal. L'idéal $(\mu_A)$ est donc maximal. Par conséquent, l'anneau quotient $\mathbb{Q}[X] / (\mu_A)$ est un corps.

   $$\boxed{\mathbb{Q}[A] \text{ est un corps.}}$$

5. Soit $F$ un sous-espace de $\mathbb{Q}^n$ stable par $A$. On note $u$ l'endomorphisme induit par $A$ sur $F$. Le polynôme minimal $\mu_u$ de cet endomorphisme induit divise le polynôme minimal $\mu_A$.

   Or, nous avons montré que $\mu_A$ est irréductible dans $\mathbb{Q}[X]$. Ses seuls diviseurs unitaires sont donc $1$ et $\mu_A$ lui-même.

   Premier cas : $\mu_u = 1$. Cela signifie que $I_{|F} = 0$, ce qui n'est possible que si $F = \{0\}$.

   Second cas : $\mu_u = \mu_A$. Dans ce cas, $\dim F \ge \deg(\mu_u) = \deg(\mu_A) = n$. Comme $F \subset \mathbb{Q}^n$, on a nécessairement $F = \mathbb{Q}^n$.

   En conclusion, les seuls sous-espaces de $\mathbb{Q}^n$ stables par $A$ sont les sous-espaces triviaux :

   $$\boxed{\mathcal{S} = \{ \{0\}, \mathbb{Q}^n \}}$$