Structure du groupe linéaire sur $\mathbb{F}_2$

Soit $\mathbb{F}_2 = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ le corps fini à deux éléments. On s'intéresse au groupe des matrices inversibles d'ordre 2 à coefficients dans ce corps, noté $GL_2(\mathbb{F}_2)$ .

Calculer le cardinal de $GL_2(\mathbb{F}_2)$ .
En étudiant l'action du groupe $GL_2(\mathbb{F}_2)$ sur l'ensemble des vecteurs non nuls de $(\mathbb{F}_2)^2$ , identifier un groupe classique auquel $GL_2(\mathbb{F}_2)$ est isomorphe.

1.

Pour la question 1, dénombrer les bases de l'espace vectoriel $(\mathbb{F}_2)^2$ . Une matrice est inversible si et seulement si ses colonnes forment une base.

2.

Pour la question 2, l'espace $(\mathbb{F}_2)^2$ contient un nombre fini de vecteurs. Considérer l'ensemble $X = (\mathbb{F}_2)^2 \setminus \{(0,0)\}$ . Montrer qu'une matrice de $GL_2(\mathbb{F}_2)$ définit une permutation de cet ensemble $X$ .

Idées clés

•

Dénombrement de bases dans un espace vectoriel fini.

•

Morphisme d'un groupe vers un groupe de permutations (action de groupe).

•

Injectivité par l'image de la base canonique.

Résolution.

Une matrice $M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{F}_2)$ $M \in M_{2} (F_{2})$ appartient à $GL_2(\mathbb{F}_2)$ $G L_{2} (F_{2})$ si et seulement si ses colonnes $(C_1, C_2)$ $(C_{1}, C_{2})$ forment une base de $E = (\mathbb{F}_2)^2$ $E = (F_{2})^{2}$ . Le corps $\mathbb{F}_2$ $F_{2}$ contient 2 éléments, donc l'espace $E$ $E$ contient $2^2 = 4$ $2^{2} = 4$ vecteurs. Pour construire une base $(C_1, C_2)$ $(C_{1}, C_{2})$ :
- Le vecteur $C_1$ doit être non nul. Il y a $2^2 - 1 = 3$ choix possibles.
- Le vecteur $C_2$ ne doit pas appartenir à la droite vectorielle engendrée par $C_1$ . Comme nous sommes sur $\mathbb{F}_2$ , cette droite est $Vect(C_1) = \{0, C_1\}$ . Il y a donc $2^2 - 2 = 2$ choix possibles pour $C_2$ .
Le nombre total de bases est donc $3 \times 2 = 6$ $3 \times 2 = 6$ .
$\boxed{\text{card}(GL_2(\mathbb{F}_2)) = 6}$
Posons $X = E \setminus \{(0,0)\}$ . L'ensemble $X$ contient $4 - 1 = 3$ éléments distincts : $v_1 = \begin{pmatrix} 1 0 \end{pmatrix}, v_2 = \begin{pmatrix} 0 1 \end{pmatrix}, v_3 = \begin{pmatrix} 1 1 \end{pmatrix}$ Soit $M \in GL_2(\mathbb{F}_2)$ . Puisque $M$ est inversible, l'application linéaire associée est un automorphisme de $E$ . Elle envoie donc un vecteur non nul sur un vecteur non nul. L'application $\phi_M : x \mapsto Mx$ induit une permutation de l'ensemble fini $X$ . On définit alors l'application suivante : $\Phi : \begin{cases} GL_2(\mathbb{F}_2) \to \mathfrak{S}(X) M \mapsto \sigma_M \end{cases}$ où $\sigma_M$ est la permutation de $X$ définie par $\sigma_M(v) = Mv$ . Par propriété du produit matriciel, on a $\Phi(MM') = \Phi(M) \circ \Phi(M')$ , donc $\Phi$ est un morphisme de groupes. Déterminons le noyau de $\Phi$ . Si $M \in \ker(\Phi)$ , alors pour tout $v \in X$ , $Mv = v$ . En particulier : $M v_1 = v_1 \text{et} M v_2 = v_2$ Comme $(v_1, v_2)$ est la base canonique de $(\mathbb{F}_2)^2$ , la matrice $M$ est nécessairement l'identité $I_2$ . Le noyau est donc réduit à l'élément neutre : $\Phi$ est injectif. Or, on a déterminé que $\text{card}(GL_2(\mathbb{F}_2)) = 6$ et on sait que $\text{card}(\mathfrak{S}(X)) = 3! = 6$ . Une application injective entre deux ensembles finis de même cardinal est bijective. Ainsi, $\Phi$ est un isomorphisme de groupes. $\boxed{GL_2(\mathbb{F}_2) \cong \mathfrak{S}_3}$

Attention à ne pas oublier que sur un corps fini, la condition "libre" pour une famille de vecteurs se traduit par un décompte précis : chaque nouveau vecteur choisi ne doit pas être dans le sous-espace engendré par les précédents.