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Diagonalisabilité sur un corps fini

corps finicardinal qpolynôme annulateurdiagonalisationCritère de diagonalisabilité (racines simples)Théorème de Lagrange

Soient K\mathbb{K} un corps fini de cardinal qq et EE un K\mathbb{K}-espace vectoriel de dimension finie n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.

On considère un endomorphisme u∈L(E)u \in \mathcal{L}(E).

Montrer que uu est diagonalizable si, et seulement si, uq=uu^q = u.

1.

Pour le sens direct, utiliser le fait que tout élément xx d'un corps fini de cardinal qq vérifie l'égalité xq=xx^q = x.

2.

Pour la réciproque, considérer le polynôme P(X)=Xq−XP(X) = X^q - X et étudier ses racines dans K\mathbb{K}.

Idées clés

•

Propriété fondamentale des corps finis : tout élément de K\mathbb{K} est racine de Xq−XX^q - X.

•

Critère de diagonalisabilité : un endomorphisme est diagonalizable si et seulement s'il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples.

Résolution.

Supposons dans un premier temps que uu est diagonalizable.

Il existe alors une base B=(e1,…,en)\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n) de EE constituée de vecteurs propres de uu.

Notons λi∈K\lambda_i \in \mathbb{K} la valeur propre associée au vecteur eie_i pour chaque i∈{1,…,n}i \in \{1, \dots, n\}.

D'après le cours sur les corps finis (petit théorème de Fermat généralisé), tout élément λ\lambda de K\mathbb{K} satisfait l'équation :

λq=λ\boxed{\lambda^q = \lambda}

On en déduit que pour tout i∈{1,…,n}i \in \{1, \dots, n\} :

uq(ei)=λiqei=λiei=u(ei)u^q(e_i) = \lambda_i^q e_i = \lambda_i e_i = u(e_i)

Comme les endomorphismes uqu^q et uu coïncident sur une base de EE, ils sont égaux.

uq=u\boxed{u^q = u}

Réciproquement, supposons que uq=uu^q = u.

L'endomorphisme uu est annulé par le polynôme suivant :

P(X)=Xq−XP(X) = X^q - X

Cherchons les racines de ce polynôme dans K\mathbb{K}.

Le groupe multiplicatif K∗=K∖{0}\mathbb{K}^* = \mathbb{K} \setminus \{0\} est un groupe d'ordre q−1q-1.

Par le théorème de Lagrange, pour tout x∈K∗x \in \mathbb{K}^*, on a xq−1=1x^{q-1} = 1, ce qui implique xq=xx^q = x.

L'élément 00 vérifie également 0q=00^q = 0. Ainsi, tous les éléments du corps K\mathbb{K} sont des racines de PP.

Comme PP est de degré qq et qu'il possède qq racines distinctes dans K\mathbb{K} (tous les éléments du corps), il est scindé sur K\mathbb{K} et ses racines sont simples.

P(X)=∏a∈K(X−a)\boxed{P(X) = \prod_{a \in \mathbb{K}} (X - a)}

Le polynôme PP est un polynôme annulateur de uu, scindé sur K\mathbb{K} et à racines simples.

D'après le critère de diagonalisabilité du cours :

u est diagonalizable\boxed{u \text{ est diagonalizable}}

Ne pas oublier de mentionner que les racines sont simples. Si le polynôme avait des racines multiples, l'endomorphisme pourrait être seulement trigonalisable. Ici, le fait qu'il y ait qq racines distinctes pour un polynôme de degré qq garantit la simplicité.