Caractérisation des matrices diagonalisables sur Fp

Résolution.

1. Sens direct ($\implies$) : Supposons que $A$ soit diagonalisable dans $\mathrm{M}_n(\mathbb{K})$. Par définition, il existe une matrice inversible $P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ et une matrice diagonale $D = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n) \in \mathrm{M}_n(\mathbb{K})$ telles que :
   $$A = PDP^{-1}$$

   Pour tout entier $k \in \mathbb{N}$, on a $A^k = PD^kP^{-1}$. En particulier, pour $k=p$ :

   $$A^p = PD^pP^{-1}$$

   Or, la puissance d'une matrice diagonale s'obtient en élevant chaque coefficient diagonal à cette puissance :

   $$D^p = \mathrm{diag}(\lambda_1^p, \dots, \lambda_n^p)$$

   D'après le petit théorème de Fermat, tout élément $x$ du corps $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ vérifie la relation $x^p = x$. Ainsi, pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, on a $\lambda_i^p = \lambda_i$. On en déduit :

   $$D^p = D$$

   Par conséquent :

   $$\boxed{A^p = PDP^{-1} = A}$$

2. Sens réciproque ($\impliedby$) : Supposons que $A^p = A$. Considérons le polynôme $P(X) = X^p - X \in \mathbb{K}[X]$. Par hypothèse, on a :
   $$P(A) = A^p - A = 0_n$$

   Le polynôme $P$ est donc un polynôme annulateur de $A$. Rappelons qu'une matrice est diagonalisable sur un corps $\mathbb{K}$ si et seulement si elle possède un polynôme annulateur scindé sur $\mathbb{K}$ dont toutes les racines sont simples.

   Étudions les racines de $P$ dans $\mathbb{K} = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. D'après le petit théorème de Fermat, tout élément de $\mathbb{K}$ est racine de $P$. Comme le corps $\mathbb{K}$ possède exactement $p$ éléments distincts et que le polynôme $P$ est de degré $p$, on peut écrire sa décomposition en facteurs irréductibles :

   $$P(X) = \prod_{x \in \mathbb{K}} (X - x)$$

   On observe que :

   • Le polynôme $P$ est scindé sur $\mathbb{K}$.
   • Toutes les racines de $P$ (qui sont les éléments de $\mathbb{K}$) sont de multiplicité 1.

   Puisque $A$ admet un polynôme annulateur scindé à racines simples, on en conclut que :

   $$\boxed{A \text{ est diagonalisable dans } \mathrm{M}_n(\mathbb{K})}$$