Dénombrement dans les groupes linéaires finis

Résolution.

1. Une matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{F}_p)$ est inversible si et seulement si ses colonnes $(C_1, \dots, C_n)$ forment une base de $\mathbb{F}_p^n$. Dénombrer $\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)$ revient donc à compter le nombre de familles libres $(C_1, \dots, C_n)$ dans $\mathbb{F}_p^n$. Pour construire une telle famille :
   • Le vecteur $C_1$ doit être non nul. Il y a $p^n - 1$ choix possibles (car $\mathbb{F}_p^n$ contient $p^n$ vecteurs).
   • Le vecteur $C_2$ doit être hors de $\mathrm{Vect}(C_1)$. Comme $\dim(\mathrm{Vect}(C_1)) = 1$, ce sous-espace contient $p^1$ vecteurs. Il reste donc $p^n - p$ choix.
   • De manière générale, le $k$-ième vecteur $C_k$ doit être choisi en dehors de l'espace $\mathrm{Vect}(C_1, \dots, C_{k-1})$. Cet espace est de dimension $k-1$ car la famille est libre par construction, il contient donc $p^{k-1}$ vecteurs.
   • Le nombre de choix pour $C_k$ est donc $p^n - p^{k-1}$.
   Par le principe multiplicatif, on obtient :
   $$\boxed{|\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)| = \prod_{k=0}^{n-1} (p^n - p^k) = (p^n - 1)(p^n - p)\dots(p^n - p^{n-1})}$$

2. On considère l'application déterminant $\det : \mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p) \to \mathbb{F}_p^*$. C'est un morphisme de groupes dont le noyau est, par définition, $\mathrm{SL}_n(\mathbb{F}_p)$. L'application $\det$ est surjective. En effet, pour tout $\lambda \in \mathbb{F}_p^*$, la matrice $\mathrm{diag}(\lambda, 1, \dots, 1)$ appartient à $\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)$ et son déterminant est $\lambda$. D'après le théorème d'isomorphisme (ou le principe des bergers appliqué aux fibres du morphisme), on a la relation :
   $$|\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)| = |\ker(\det)| \times |\mathrm{im}(\det)| = |\mathrm{SL}_n(\mathbb{F}_p)| \times |\mathbb{F}_p^*|$$
   Comme $|\mathbb{F}_p^*| = p-1$, on en déduit :
   $$|\mathrm{SL}_n(\mathbb{F}_p)| = \frac{|\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)|}{p-1}$$
   En utilisant l'expression précédente :
   $$\boxed{|\mathrm{SL}_n(\mathbb{F}_p)| = \frac{1}{p-1} \prod_{k=0}^{n-1} (p^n - p^k) = p^{n-1} \prod_{k=1}^{n-1} (p^n - p^k)}$$

3. Cas particulier $n=2, p=2$.
   1. En appliquant la formule du 1. :
      $$|\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_2)| = (2^2 - 1)(2^2 - 2) = 3 \times 2$$
      D'où :
      $$\boxed{|\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_2)| = 6}$$

   2. Dans $E = \mathbb{F}_2^2$, il y a $2^2 - 1 = 3$ vecteurs non nuls. Notons $X = \{v_1, v_2, v_3\}$ cet ensemble. Tout élément $u \in \mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_2)$ est une application linéaire bijective qui laisse stable l'ensemble des vecteurs non nuls (car $u(x)=0 \iff x=0$). On définit ainsi une action de $G = \mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_2)$ sur $X$, ce qui induit un morphisme de groupes $\phi : G \to S_X \cong S_3$. Vérifions le noyau de $\phi$. Si $u \in \ker(\phi)$, alors $u$ fixe tous les vecteurs de $X$. En particulier, $u$ fixe les vecteurs de la base canonique, donc $u = \mathrm{id}$. Ainsi, $\phi$ est injectif. Comme $|G| = 6$ et $|S_3| = 3! = 6$, l'injection $\phi$ est nécessairement une bijection. Conclusion :
      $$\boxed{\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_2) \cong S_3}$$