Dénombrement de groupes linéaires finis

Soit $p$ un nombre premier et $n$ un entier naturel non nul. On note $\mathbb{F}_p = \mathbb{Z} / p \mathbb{Z}$ le corps fini à $p$ éléments.

L'objectif est de déterminer la taille des groupes classiques de matrices à coefficients dans $\mathbb{F}_p$ .

Déterminer le cardinal du groupe général linéaire $\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{F}_p)$ .
En déduire le cardinal du groupe spécial linéaire $\mathrm{SL}_{n}(\mathbb{F}_p)$ , défini comme le noyau de l'application déterminant sur $\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{F}_p)$ .

1.

Pour $\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)$ , interpréter l'appartenance d'une matrice au groupe en termes de liberté de sa famille de vecteurs colonnes.

2.

Construire une telle famille vecteur par vecteur en excluant à chaque étape les combinaisons linéaires des vecteurs déjà choisis.

3.

Pour $\mathrm{SL}_n(\mathbb{F}_p)$ , utiliser l'application $\det : \mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p) \to \mathbb{F}_p^*$ et exploiter la structure des fibres d'un morphisme de groupes.

Idées clés

•

Isomorphisme entre $\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)$ et l'ensemble des bases de $\mathbb{F}_p^n$ .

•

Dénombrement par récurrence immédiate (principe multiplicatif) des familles libres.

•

Lien entre le cardinal d'un groupe, celui de son noyau et celui de son image par un morphisme.

1. Calcul du cardinal de $\mathrm{GL$ _n(\mathbb{F}_p) $GL_{n} (F_{p})$ }

Une matrice $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{F}_p)$ appartient à $\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)$ si et seulement si ses colonnes $(C_1, C_2, \dots, C_n)$ forment une base de l'espace vectoriel $\mathbb{F}_p^n$ .

Dénombrer $\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)$ revient donc à compter le nombre de familles libres $(C_1, \dots, C_n)$ de $\mathbb{F}_p^n$ .

Choisissons les vecteurs les uns après les autres :

Pour le premier vecteur $C_1$ , il peut être n'importe quel vecteur de $\mathbb{F}_p^n$ sauf le vecteur nul. L'espace $\mathbb{F}_p^n$ contient $p^n$ éléments.

Le nombre de choix pour $C_1$ est donc :

N_1 = p^n - 1

Pour le deuxième vecteur $C_2$ , il doit être choisi tel que la famille $(C_1, C_2)$ soit libre. Cela signifie que $C_2$ ne doit pas appartenir à la droite vectorielle $\mathrm{Vect}(C_1)$ .

Comme $C_1 \neq 0$ , le sous-espace $\mathrm{Vect}(C_1)$ est de dimension 1 sur le corps $\mathbb{F}_p$ , il contient donc $p^1 = p$ vecteurs.

Le nombre de choix pour $C_2$ est donc :

N_2 = p^n - p

Généralisons : supposons avoir choisi $k$ vecteurs $(C_1, \dots, C_k)$ formant une famille libre. Le vecteur suivant $C_{k+1}$ doit être choisi hors du sous-espace $V_k = \mathrm{Vect}(C_1, \dots, C_k)$ .

Puisque la famille est libre, $\dim(V_k) = k$ . Le nombre de vecteurs dans $V_k$ est donc $p^k$ .

Le nombre de choix pour le $(k+1)$ -ième vecteur est :

N_{k+1} = p^n - p^k

Par le principe multiplicatif, le cardinal de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)$ est le produit des choix successifs pour $k$ allant de $0$ à $n-1$ :

\boxed{|\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)| = \prod_{k=0}^{n-1} (p^n - p^k)}

On peut aussi réécrire ce résultat sous la forme :

|\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)| = (p^n - 1)(p^n - p)(p^n - p^2) \dots (p^n - p^{n-1})

2. Calcul du cardinal de $\mathrm{SL$ _n(\mathbb{F}_p) $SL_{n} (F_{p})$ }

Considérons l'application déterminant :

\det : \mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p) \longrightarrow \mathbb{F}_p^*

Cette application est un morphisme de groupes pour la multiplication. Par définition, $\mathrm{SL}_n(\mathbb{F}_p) = \ker(\det)$ .

Montrons que ce morphisme est surjectif. Soit $\lambda \in \mathbb{F}_p^*$ . On peut considérer la matrice diagonale suivante :

M_\lambda = \mathrm{diag}(\lambda, 1, 1, \dots, 1)

Le déterminant de $M_\lambda$ est $\lambda$ , et comme $\lambda \neq 0$ , $M_\lambda$ est bien dans $\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)$ . L'image de l'application $\det$ est donc exactement $\mathbb{F}_p^*$ .

Le cardinal de l'image est $|\mathbb{F}_p^*| = p - 1$ .

D'après la propriété des fibres d'un morphisme de groupes (ou le principe des bergers), toutes les préimages des éléments de l'image ont le même cardinal, celui du noyau. On a donc la relation :

|\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)| = |\ker(\det)| \times |\mathrm{Im}(\det)|

Ce qui donne :

|\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)| = |\mathrm{SL}_n(\mathbb{F}_p)| \times (p - 1)

En isolant le cardinal recherché, nous obtenons :

\boxed{|\mathrm{SL}_n(\mathbb{F}_p)| = \frac{1}{p-1} \prod_{k=0}^{n-1} (p^n - p^k)}

Une erreur fréquente est d'oublier que les vecteurs choisis doivent être linéairement indépendants. Certains élèves comptent $p^n$ choix pour chaque colonne, ce qui correspond à l'ensemble $\mathcal{M}_n(\mathbb{F}_p)$ et non à $\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)$ .