Diagonalisation de matrices circulantes sur Fp

Soit $p$ un nombre premier. On considère un vecteur $(a_0, a_1, \dots, a_{p-2}) \in \mathbb{F}_p^{p-1}$ . On définit la matrice $M \in \mathcal{M}_{p-1}(\mathbb{F}_p)$ par :

M = \begin{pmatrix} a_0 & a_1 & \cdots & a_{p-2} a_{p-2} & a_0 & a_1 & \vdots \vdots & \ddots & \ddots & a_1 a_1 & \cdots & a_{p-2} & a_0 \end{pmatrix}

C'est-à-dire que pour tout $(i,j) \in \{1, \dots, p-1\}^2$ , le coefficient $M_{i,j}$ est $a_{(j-i) \pmod{p-1}}$ .

Établir que la matrice $M$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_{p-1}(\mathbb{F}_p)$ .
Déterminer explicitement une matrice diagonale semblable à $M$ .

1.

Exprimer $M$ comme un polynôme en la matrice de permutation circulaire $J$ .

2.

Utiliser le petit théorème de Fermat pour factoriser le polynôme $X^{p-1}-1$ dans $\mathbb{F}_p[X]$ .

3.

Conclure sur la diagonalisabilité de $J$ , puis celle de $M$ , en utilisant un critère polynomial.

Idées clés

•

Décomposition sur la base des matrices de permutation.

•

Utilisation du petit théorème de Fermat pour trouver les racines de l'unité.

•

Diagonalisabilité des polynômes d'endomorphismes diagonalisables.

Résolution.

Introduisons la matrice de permutation circulaire $J \in \mathcal{M}_{p-1}(\mathbb{F}_p)$ définie par : $J = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{pmatrix}$
On remarque par calcul direct des puissances de $J$ que la matrice $M$ s'écrit comme un polynôme en $J$ :
$\boxed{M = \sum_{k=0}^{p-2} a_k J^k}$
La matrice $J$ vérifie la relation $J^{p-1} = I_{p-1}$ . Par conséquent, le polynôme $P(X) = X^{p-1} - 1 \in \mathbb{F}_p[X]$ est un polynôme annulateur de $J$ .
Cherchons les racines de $P$ dans $\mathbb{F}_p$ . D'après le petit théorème de Fermat, pour tout élément non nul $x \in \mathbb{F}_p^*$ , on a $x^{p-1} = 1$ .
Comme le corps $\mathbb{F}_p$ possède exactement $p-1$ éléments non nuls, le polynôme $P$ possède $p-1$ racines distinctes dans $\mathbb{F}_p$ , qui sont $\{1, 2, \dots, p-1\}$ . On a donc la factorisation :
$X^{p-1} - 1 = \prod_{x \in \mathbb{F}_p^*} (X - x)$
Le polynôme annulateur $P$ est scindé à racines simples sur $\mathbb{F}_p$ . On en déduit que la matrice $J$ est diagonalisable sur $\mathbb{F}_p$ .
Comme $M$ est un polynôme en $J$ , et que $J$ est diagonalisable, alors $M$ est également diagonalisable dans $\mathcal{M}_{p-1}(\mathbb{F}_p)$ .
Les valeurs propres de $J$ sont les racines de son polynôme minimal. Comme $J^k \neq I$ pour $1 \le k < p-1$ , le polynôme minimal de $J$ est exactement $X^{p-1}-1$ . Le spectre de $J$ est donc : $\text{Sp}(J) = \{1, 2, \dots, p-1\} = \mathbb{F}_p^*$
Soit $Q(X) = \sum_{k=0}^{p-2} a_k X^k$ le polynôme tel que $M = Q(J)$ . Les valeurs propres de $M$ sont les images des valeurs propres de $J$ par $Q$ . Ainsi, les valeurs propres de $M$ sont les éléments $\lambda_j$ pour $j \in \{1, \dots, p-1\}$ définis par :
$\lambda_j = Q(j) = \sum_{k=0}^{p-2} a_k j^k$
Une matrice diagonale $D$ semblable à $M$ est donc donnée par :
$\boxed{D = \text{diag}\left( \sum_{k=0}^{p-2} a_k, \sum_{k=0}^{p-2} a_k 2^k, \dots, \sum_{k=0}^{p-2} a_k (p-1)^k \right)}$

Ne pas confondre la taille de la matrice ( $p-1$ ) avec le nombre premier $p$ . Ici, la dimension est $p-1$ pour que les racines de l'unité soient exactement les éléments du corps privé de zéro.