Dénombrement de matrices diagonalisables sur un corps fini

Soit $\mathbb{K}$ un corps fini de cardinal $q$ . On considère l'espace vectoriel $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ des matrices carrées d'ordre $n$ à coefficients dans $\mathbb{K}$ .

Pour tout entier $n \in \mathbb{N}^{*}$ , on note $D_{n}$ le nombre de matrices diagonalisables de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ .

Calculer explicitement les valeurs de $D_{2}$ et $D_{3}$ en fonction de $q$ .

1.

Rappeler qu'une matrice est diagonalisable sur $\mathbb{K}$ si et seulement si elle est semblable à une matrice diagonale.

2.

Utiliser l'action par conjugaison du groupe linéaire $GL_n(\mathbb{K})$ sur l'ensemble des matrices.

3.

Appliquer la formule de l'orbite-stabilisateur : le cardinal de l'orbite d'une matrice diagonale $\Delta$ est égal au quotient du cardinal de $GL_n(\mathbb{K})$ par le cardinal du commutant de $\Delta$ dans $GL_n(\mathbb{K})$ .

4.

Distinguer les cas selon le nombre de valeurs propres distinctes (partitions de $n$ ).

Idées clés

•

Une matrice $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ est diagonalisable sur $\mathbb{K}$ ssi il existe $P \in GL_n(\mathbb{K})$ telle que $P^{-1}MP$ soit diagonale.

•

Le nombre de matrices semblables à une matrice diagonale $\Delta$ est donné par $\frac{|GL_n(\mathbb{K})|}{|C(\Delta) \cap GL_n(\mathbb{K})|}$ .

•

Le cardinal de $GL_n(\mathbb{K})$ est donné par $\prod_{k=0}^{n-1} (q^n - q^k)$ .

1. Préliminaires : Cardinaux des groupes linéaires

Le cardinal du groupe $GL_n(\mathbb{K})$ correspond au nombre de bases de $\mathbb{K}^n$ . On a :

|GL_n(\mathbb{K})| = (q^n - 1)(q^n - q)(q^n - q^2) \dots (q^n - q^{n-1})

Pour les calculs suivants, nous aurons besoin de :

\boxed{|GL_1(\mathbb{K})| = q-1}

\boxed{|GL_2(\mathbb{K})| = (q^2-1)(q^2-q) = q(q-1)^2(q+1)}

\boxed{|GL_3(\mathbb{K})| = (q^3-1)(q^3-q)(q^3-q^2) = q^3(q-1)^3(q+1)(q^2+q+1)}

2. Calcul de $D_2$

Une matrice de $\mathcal{M}_2(\mathbb{K})$ est diagonalisable si elle est semblable à une matrice $\text{diag}(\lambda, \mu)$ . Deux matrices diagonales sont semblables si et seulement si elles ont les mêmes éléments diagonaux à l'ordre près.

Cas 1 : Une seule valeur propre double ( $\lambda = \mu$ ).

Les matrices sont de la forme $\lambda I_2$ . Il y a $q$ choix pour $\lambda$ . Chaque matrice est seule dans son orbite (elle commute avec tout le monde).

\text{Nombre de matrices} = q \times 1 = q

Cas 2 : Deux valeurs propres distinctes ( $\lambda \neq \mu$ ).

Il y a $\binom{q}{2} = \frac{q(q-1)}{2}$ ensembles de valeurs propres possibles $\{\lambda, \mu\}$ . Pour une matrice $D = \text{diag}(\lambda, \mu)$ , son commutant dans $GL_2(\mathbb{K})$ est l'ensemble des matrices diagonales inversibles (car $\lambda \neq \mu$ ). Le cardinal du stabilisateur est donc $(q-1)^2$ .

L'orbite de $D$ a pour cardinal :

\frac{|GL_2(\mathbb{K})|}{(q-1)^2} = \frac{q(q-1)^2(q+1)}{(q-1)^2} = q(q+1)

Le nombre de matrices dans ce cas est :

\frac{q(q-1)}{2} \times q(q+1) = \frac{q^2(q^2-1)}{2}

Conclusion pour $n=2$ :

\boxed{D_2 = q + \frac{q^2(q^2-1)}{2}}

3. Calcul de $D_3$

On suit la même méthode en classant par types de spectres.

Type 1 : Spectre $\{\lambda, \lambda, \lambda\}$ (une seule valeur propre).}

Il y a $q$ choix pour $\lambda$ . L'orbite de $\lambda I_3$ est de taille 1.

\text{Contribution}_1 = q

Type 2 : Spectre $\{\lambda, \lambda, \mu\}$ avec $\lambda \neq \mu$ (deux valeurs propres).}

Il y a $q(q-1)$ couples $(\lambda, \mu)$ possibles. Soit $D = \text{diag}(\lambda, \lambda, \mu)$ . Son commutant dans $GL_3(\mathbb{K})$ est constitué des matrices blocs $\begin{pmatrix} A & 0 0 & d \end{pmatrix}$ avec $A \in GL_2(\mathbb{K})$ et $d \in GL_1(\mathbb{K})$ .

Le cardinal du stabilisateur est $|GL_2(\mathbb{K})| \times |GL_1(\mathbb{K})| = q(q-1)^2(q+1) \times (q-1)$ . Taille de l'orbite :

\frac{q^3(q-1)^3(q+1)(q^2+q+1)}{q(q-1)^3(q+1)} = q^2(q^2+q+1)

Contribution :

\text{Contribution}_2 = q(q-1) \times q^2(q^2+q+1) = q^3(q^3-1)

Type 3 : Spectre $\{\lambda, \mu, \nu\}$ avec $\lambda, \mu, \nu$ distincts.}

Il y a $\binom{q}{3} = \frac{q(q-1)(q-2)}{6}$ tels ensembles. Le stabilisateur d'une telle matrice diagonale est le groupe des matrices diagonales inversibles, de cardinal $(q-1)^3$ . Taille de l'orbite :

\frac{|GL_3(\mathbb{K})|}{(q-1)^3} = q^3(q+1)(q^2+q+1)

Contribution :

\text{Contribution}_3 = \frac{q(q-1)(q-2)}{6} \times q^3(q+1)(q^2+q+1) = \frac{q^4(q^2-1)(q^2+q+1)(q-2)}{6}

Conclusion pour $n=3$ :

\boxed{D_3 = q + q^3(q^3-1) + \frac{q^4(q-2)(q^3-1)(q+1)}{6(q-1)}}

Attention à ne pas compter plusieurs fois les mêmes orbites. L'ensemble des valeurs propres définit l'orbite, mais l'ordre des éléments sur la diagonale n'importe pas. C'est pourquoi on utilise des combinaisons $\binom{q}{k}$ ou on divise par les permutations possibles.