Dénombrement de matrices à spectre simple sur un corps fini

Soit $\mathbb{K}$ un corps fini de cardinal $q$ . On considère un entier $n \in \mathbb{N}^*$ tel que $n \leq q$ .

Déterminer le nombre de matrices $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ possédant exactement $n$ valeurs propres distinctes appartenant à $\mathbb{K}$ .

1.

Caractériser les matrices ayant $n$ valeurs propres distinctes dans $\mathbb{K}$ en termes de diagonalisabilité.

2.

Utiliser l'action par conjugaison du groupe linéaire $GL_n(\mathbb{K})$ sur l'ensemble de ces matrices.

3.

Pour une matrice diagonale $D$ fixée à valeurs propres distinctes, déterminer son centraliseur dans $GL_n(\mathbb{K})$ .

4.

Se souvenir de la formule du cardinal de $GL_n(\mathbb{K})$ .

Idées clés

•

Lien entre spectre simple et diagonalisabilité.

•

Théorème de l'orbite-stabilisateur appliqué à l'action par similitude.

•

Cardinal du groupe linéaire sur un corps fini.

1. Caractérisation des matrices cibles.

Soit $\mathcal{S}$ l'ensemble des matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ ayant $n$ valeurs propres distinctes dans $\mathbb{K}$ .

D'après le cours, une matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ possédant $n$ valeurs propres distinctes est diagonalisable.

Ainsi, une matrice $A$ appartient à $\mathcal{S}$ si et seulement si elle est semblable à une matrice diagonale $D = \text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ où les $\lambda_i$ sont des éléments distincts de $\mathbb{K}$ .

\boxed{ A \in \mathcal{S} \iff \exists P \in GL_n(\mathbb{K}), \exists (\lambda_1, \dots, \lambda_n) \in \mathbb{K}^n \text{ distincts}, \ A = P \text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n) P^{-1} }

2. Décompte des classes de similitude.

Deux matrices diagonales sont semblables si et seulement si leurs éléments diagonaux sont les mêmes à une permutation près.

Chaque classe de similitude incluse dans $\mathcal{S}$ est donc caractérisée de manière unique par le sous-ensemble des valeurs propres $\{\lambda_1, \dots, \lambda_n\} \subset \mathbb{K}$ .

Le nombre de telles classes de similitude est égal au nombre de façons de choisir $n$ éléments distincts parmi $q$ , soit :

N_{classes} = \binom{q}{n}

3. Taille d'une classe de similitude.

Fixons un ensemble de $n$ valeurs propres distinctes et soit $D$ la matrice diagonale correspondante. La taille de sa classe de similitude (son orbite sous l'action de $GL_n(\mathbb{K})$ ) est donnée par :

\text{Card}(\text{Orb}(D)) = \frac{\text{Card}(GL_n(\mathbb{K}))}{\text{Card}(\text{Stab}(D))}

où

\text{Stab}(D) = \{ P \in GL_n(\mathbb{K}) \mid PDP^{-1} = D \}

est le centraliseur de

D

dans

GL_n(\mathbb{K})

.

4. Calcul du stabilisateur.

Soit $P = (p_{i,j}) \in GL_n(\mathbb{K})$ . La condition $PD = DP$ se traduit par :

\forall (i,j) \in \llbracket 1, n \rrbracket^2, \ p_{i,j} \lambda_j = \lambda_i p_{i,j} \iff p_{i,j}(\lambda_j - \lambda_i) = 0

Puisque les $\lambda_k$ sont distincts, si $i \neq j$ , alors $\lambda_j - \lambda_i \neq 0$ , ce qui impose $p_{i,j} = 0$ .

Par conséquent, $P$ est une matrice diagonale. Comme $P$ doit être inversible, ses coefficients diagonaux doivent être non nuls dans $\mathbb{K}$ . Il y a $q-1$ choix pour chaque coefficient diagonal.

\boxed{ \text{Card}(\text{Stab}(D)) = (q-1)^n }

5. Conclusion du dénombrement.

Le cardinal de $GL_n(\mathbb{K})$ est classiquement donné par :

\text{Card}(GL_n(\mathbb{K})) = \prod_{k=0}^{n-1} (q^n - q^k)

En regroupant les résultats, le nombre total de matrices est :

\text{Card}(\mathcal{S}) = \binom{q}{n} \times \frac{\prod_{k=0}^{n-1} (q^n - q^k)}{(q-1)^n}

On peut simplifier l'expression en remarquant que $\prod_{k=0}^{n-1} (q^n - q^k) = q^{n(n-1)/2} \prod_{k=1}^n (q^k - 1)$ .

Le résultat final est :

\boxed{ \text{Card}(\mathcal{S}) = \frac{q!}{n!(q-n)!} \frac{\prod_{k=0}^{n-1} (q^n - q^k)}{(q-1)^n} }

Attention à ne pas oublier que le stabilisateur ne contient que des matrices inversibles. Si l'on travaillait dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ pour le centraliseur, on aurait $q^n$ matrices, mais ici on divise par le cardinal du stabilisateur dans $GL_n(\mathbb{K})$ .