Décomposition multiplicative de Dunford sur corps fini

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Soient $p$ un nombre premier, $n$ un entier naturel non nul, et $\mathbb{F}_p = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ le corps à $p$ éléments. On considère un élément $g \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)$ .

Démontrer qu'il existe un unique couple $(s, u) \in \left(\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)\right)^2$ vérifiant les trois conditions suivantes :

$g = s u = u s$ .
L'ordre de l'élément $s$ dans le groupe $\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)$ est premier à $p$ .
La matrice $u - I_n$ est nilpotente.

1.

Commencer par l'existence en utilisant l'ordre du groupe fini $G = \mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)$ . Si $N = \text{card}(G)$ , on peut écrire $N = p^k \cdot m$ avec $\text{pgcd}(p, m) = 1$ .

2.

Utiliser une relation de Bézout entre $p^k$ et $m$ pour exprimer $s$ et $u$ comme des puissances de $g$ .

3.

Pour la nilpotence de $u-I_n$ en caractéristique $p$ , utiliser l'identité $(A+B)^p = A^p + B^p$ valable pour des matrices qui commutent.

4.

Pour l'unicité, montrer que $s$ et $u$ commutent avec tout élément commutant avec $g$ , puis étudier l'ordre d'un élément qui serait à la fois unipotent et d'ordre premier à $p$ .

Idées clés

•

Structure des groupes finis et ordre des éléments.

•

Identité de Bézout dans $\mathbb{Z}$ .

•

Propriété du morphisme de Frobenius en caractéristique $p$ .

•

Étude des éléments unipotents (ordre puissance de $p$ ).

1. Existence de la décomposition.

Soit $N$ le cardinal du groupe $\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)$ . On rappelle que :

N = p^{\frac{n(n-1)}{2}} \prod_{i=1}^n (p^i - 1)

On peut décomposer

N

sous la forme

N = p^k \cdot m

où

k \in \mathbb{N}

et

m

est un entier tel que

\text{pgcd}(p, m) = 1

.

D'après le théorème de Bézout, il existe deux entiers $a$ et $b$ tels que :

\boxed{a p^k + b m = 1}

En évaluant cette relation en $g$ , nous obtenons :

g = g^1 = g^{a p^k + b m} = g^{a p^k} \cdot g^{b m}

Posons $s = g^{a p^k}$ et $u = g^{b m}$ . Comme $s$ et $u$ sont des puissances de $g$ , ils commutent entre eux et commutent avec $g$ . La condition (1) est donc satisfaite.

Vérifions la condition (2) sur l'ordre de $s$ :

s^m = (g^{a p^k})^m = (g^{p^k m})^a = (g^N)^a

D'après le théorème de Lagrange dans le groupe

G

, on a

g^N = I_n

. Ainsi :

\boxed{s^m = I_n}

L'ordre de

s

divise

m

. Puisque

m

est premier à

p

, l'ordre de

s

est également premier à

p

.

Vérifions la condition (3) sur $u$ :

u^{p^k} = (g^{b m})^{p^k} = (g^N)^b = I_n

En caractéristique

p

, pour deux matrices

A

et

B

qui commutent, on a

(A-B)^{p^k} = A^{p^k} - B^{p^k}

. Ici,

u

et

I_n

commutent, donc :

(u - I_n)^{p^k} = u^{p^k} - I_n^{p^k} = I_n - I_n = 0

\boxed{(u - I_n)^{p^k} = 0}

Ainsi,

u - I_n

est nilpotente.

2. Unicité de la décomposition.

Supposons qu'il existe un autre couple $(s', u')$ vérifiant les mêmes conditions. Puisque $s'$ et $u'$ commutent et que $g = s'u'$ , alors $s'$ et $u'$ commutent avec $g$ .

Comme $s$ et $u$ ont été définis comme des puissances de $g$ , $s$ et $u$ commutent avec $s'$ et $u'$ . De la relation $su = s'u'$ , on déduit en multipliant par $s^{-1}$ et $(u')^{-1}$ :

\boxed{s^{-1} s' = u (u')^{-1}}

D'une part, l'élément $x = s^{-1} s'$ est un produit de deux éléments dont les ordres sont premiers à $p$ et qui commutent. Son ordre est donc premier à $p$ .

D'autre part, posons $u = I + n$ et $u' = I + n'$ avec $n, n'$ nilpotentes et commutantes. L'inverse d'un unipotent est un unipotent, et le produit de deux unipotents qui commutent est unipotent. En effet, si $y = u (u')^{-1}$ , alors $y - I$ est nilpotent, donc il existe $q$ tel que $(y-I)^{p^q} = 0$ , soit $y^{p^q} = I$ . L'ordre de $y$ est donc une puissance de $p$ .

L'élément $x = y$ a un ordre qui est à la fois premier à $p$ et une puissance de $p$ . Le seul entier naturel divisant à la fois $m$ (premier à $p$ ) et $p^q$ est $1$ . On en conclut que $x = y = I_n$ , d'où :

\boxed{s = s'   \text{et}   u = u'}

Attention à ne pas confondre "ordre premier à $p$ " et "diagonalisable". Sur $\mathbb{F}_p$ , une matrice peut être d'ordre premier à $p$ sans être diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{F}_p)$ (elle le sera dans une extension de corps). C'est la notion de matrice semisimple.