Diagonalisabilité dans un sous-groupe fini

groupe fini diagonalisation polynôme annulateur racines de l'unité Polynôme scindé à racines simples Théorème de Lagrange (implicite)

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $G$ un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ .

On suppose que le groupe $G$ est de cardinal fini.

Démontrer que tout élément $M$ appartenant à $G$ est une matrice diagonalisable de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ .

Utiliser le fait que dans un groupe fini, tout élément est d'ordre fini.

Exploiter un polynôme annulateur classique pour les matrices de torsion (matrices $M$ telles que $M^k = I_n$ ).

Se ramener au critère de diagonalisation portant sur les racines d'un polynôme annulateur.

Idées clés

•

Utilisation de l'ordre d'un élément dans un groupe fini.

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Critère de diagonalisabilité : existence d'un polynôme annulateur scindé à racines simples.

Résolution.

Soit $M$ un élément quelconque du groupe $G$ . Puisque $G$ est un groupe fini, l'ensemble des puissances de $M$ , à savoir $\{M^k, k \in \mathbb{N}\}$ , est inclus dans $G$ et est donc lui-même fini.

Il existe alors deux entiers distincts $p$ et $q$ , avec par exemple $0 \leq p < q$ , tels que :

M^p = M^q

Comme $M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ , la matrice $M$ est inversible. En multipliant par $(M^{-1})^p$ , on en déduit :

M^{q-p} = I_n

Notons $k = q-p$ l'entier strictement positif ainsi obtenu. La matrice $M$ est annulée par le polynôme :

\boxed{P(X) = X^k - 1}

Cherchons les racines de ce polynôme dans $\mathbb{C}$ et étudions leur multiplicité. Les racines de $P$ sont les racines $k$ -ièmes de l'unité, données par :

\mathcal{S} = \left\{ \exp\left(\frac{2i\pi j}{k}\right),   j \in \{0, \dots, k-1\} \right\}

On observe que le polynôme dérivé est $P'(X) = k X^{k-1}$ . Les racines de $P'$ sont uniquement $\{0\}$ .

Comme $0$ n'est pas racine de $P$ , le polynôme $P$ et son dérivé $P'$ n'ont aucune racine commune. Ainsi, toutes les racines de $P$ dans $\mathbb{C}$ sont simples.

Le polynôme $P$ est donc scindé sur $\mathbb{C}$ et ne possède que des racines simples.

D'après le cours sur la réduction, une matrice est diagonalisable sur un corps $\mathbb{K}$ si et seulement s'il existe un polynôme annulateur scindé sur $\mathbb{K}$ à racines simples.

On en conclut que la matrice $M$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ .

\boxed{ \forall M \in G,   M \text{ est diagonalisable} }

Attention à ne pas oublier de préciser que le corps de base est $\mathbb{C}$ . Sur $\mathbb{R}$ , une matrice d'un sous-groupe fini n'est pas nécessairement diagonalisable (penser aux matrices de rotation d'angle $\theta \neq 0 [\pi]$ ).