Représentation linéaire d'un groupe fini

Soit $G$ un groupe fini de cardinal $n \in \mathbb{N}^*$ . Soit $K$ un corps commutatif quelconque.

Démontrer qu'il existe un entier naturel non nul $p$ tel que le groupe $G$ soit isomorphe à un sous-groupe du groupe linéaire $\mathrm{GL}_{p}(K)$ .

1.

Commencer par établir le théorème de Cayley : tout groupe fini $G$ d'ordre $n$ est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$ .

2.

Associer à chaque permutation $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ une matrice de permutation $P_\sigma$ dans $\mathcal{M}_n(K)$ .

3.

Construire un morphisme injectif de $G$ dans $\mathrm{GL}_n(K)$ en composant ces deux résultats.

Idées clés

•

Utilisation de l'action de groupe par translation à gauche.

•

Construction de l'application de représentation par les matrices de permutation.

•

Vérification des propriétés de morphisme et d'injectivité.

Résolution.

Étape 1 : Immersion de $G$ dans le groupe symétrique.

Soit $n$ le cardinal du groupe $G$ . Notons $G = \{g_1, g_2, \dots, g_n\}$ l'ensemble de ses éléments.

Pour chaque élément $g \in G$ , on définit l'application de translation à gauche $L_g$ par :

\forall x \in G,   L_g(x) = g \cdot x

L'application $L_g$ est une bijection de $G$ dans $G$ . En effet, si $L_g(x) = L_g(y)$ , alors $gx = gy$ , et par simplification à gauche par $g^{-1}$ , on obtient $x = y$ .

Comme $G$ est fini, cette injectivité implique la bijectivité.

L'application $L_g$ induit donc une permutation des indices de l'ensemble $\{1, \dots, n\}$ . On définit $\sigma_g \in \mathfrak{S}_n$ tel que :

\forall i \in \{1, \dots, n\},   g \cdot g_i = g_{\sigma_g(i)}

Considérons l'application $\phi : G \to \mathfrak{S}_n$ définie par $\phi(g) = \sigma_g$ .

C'est un morphisme de groupes car pour tous $g, h \in G$ :

g \cdot (h \cdot g_i) = g \cdot g_{\sigma_h(i)} = g_{\sigma_g(\sigma_h(i))} = g_{(\sigma_g \circ \sigma_h)(i)}

D'autre part, $(gh) \cdot g_i = g_{\sigma_{gh}(i)}$ . Par identification, on a $\sigma_{gh} = \sigma_g \circ \sigma_h$ , soit :

\boxed{ \phi(gh) = \phi(g) \circ \phi(h) }

$\phi$ est injectif car si $\phi(g) = \text{id}$ , alors $g \cdot g_i = g_i$ pour tout $i$ , donc $g = e_G$ . Ainsi, $G$ est isomorphe à $\text{Im}(\phi)$ , qui est un sous-groupe de $\mathfrak{S}_n$ .

Étape 2 : Immersion de $\mathfrak{S$ _n $S_{n}$ dans $\mathrm{GL}_n(K)$ .}

Soit $(e_1, \dots, e_n)$ la base canonique de $K^n$ . Pour toute permutation $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ , on définit l'endomorphisme $u_\sigma$ par :

\forall i \in \{1, \dots, n\},   u_\sigma(e_i) = e_{\sigma(i)}

Soit $\psi : \mathfrak{S}_n \to \mathrm{GL}_n(K)$ l'application qui à $\sigma$ associe la matrice $P_\sigma$ de $u_\sigma$ dans la base canonique.

Cette application est un morphisme de groupes. En effet :

u_{\sigma \circ \tau}(e_i) = e_{\sigma(\tau(i))} = u_\sigma(e_{\tau(i)}) = u_\sigma(u_\tau(e_i))

On en déduit que $u_{\sigma \circ \tau} = u_\sigma \circ u_\tau$ , et donc au niveau matriciel :

\boxed{ P_{\sigma \circ \tau} = P_\sigma P_\tau }

De plus, si $P_\sigma = I_n$ , alors $u_\sigma(e_i) = e_i$ pour tout $i$ , donc $\sigma(i) = i$ pour tout $i$ , d'où $\sigma = \text{id}$ . L'application $\psi$ est donc un morphisme injectif.

Étape 3 : Conclusion.

Considérons l'application composée $f = \psi \circ \phi : G \to \mathrm{GL}_n(K)$ .

En tant que composée de morphismes injectifs, $f$ est un morphisme injectif.

D'après le premier théorème d'isomorphisme (ou simplement par la définition d'un morphisme injectif), $G$ est isomorphe à son image par $f$ .

Or, l'image $f(G)$ est un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(K)$ .

On a donc montré l'existence de $p=n$ tel que :

\boxed{ G \cong f(G) \subset \mathrm{GL}_n(K) }

Attention à ne pas confondre la matrice de permutation $P_\sigma$ (définie par $e_i \mapsto e_{\sigma(i)}$ ) avec la matrice dont le coefficient $(i,j)$ est $\delta_{i, \sigma(j)}$ . Une erreur d'inversion mènerait à un antimorphisme ( $P_{\sigma \tau} = P_\tau P_\sigma$ ) si l'on n'y prend pas garde.