Projecteur moyen d'un groupe fini

Soit $K$ un corps de caractéristique nulle et $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm{GL}_{n}(K)$ .

On considère la matrice $P$ définie par la moyenne des éléments de $G$ :

P = \frac{1}{\operatorname{card}(G)} \sum_{M \in G} M

Démontrer que $P$ est la matrice d'un projecteur de $\mathrm{M}_{n, 1}(K)$ .
On note $F = \left\{X \in \mathrm{M}_{n, 1}(K) \mid \forall M \in G, MX=X\right\}$ l'ensemble des vecteurs fixés par tous les éléments de $G$ . Montrer que $F = \operatorname{im}(P)$ .
En déduire une expression de la dimension de $F$ en fonction des traces des matrices appartenant à $G$ .

1.

Pour la question 1, calculez $P^2$ en utilisant le fait que, pour tout $A \in G$ , l'application $M \mapsto AM$ est une permutation du groupe $G$ .

2.

Pour la question 2, procédez par double inclusion en utilisant la définition d'un projecteur ( $\operatorname{im} P = \ker(P - I)$ ).

3.

Pour la question 3, utilisez la relation fondamentale entre le rang d'un projecteur et sa trace.

Idées clés

•

Invariance par translation dans un groupe fini.

•

Lien entre trace et rang pour un projecteur.

•

Caractérisation de l'image d'un projecteur par l'ensemble de ses points fixes.

Résolution.

Calculons le carré de la matrice $P$ : $P^2 = \left( \frac{1}{|G|} \sum_{M \in G} M \right) \left( \frac{1}{|G|} \sum_{N \in G} N \right)$
Par linéarité du produit matriciel, nous obtenons :
$P^2 = \frac{1}{|G|^2} \sum_{M \in G} \sum_{N \in G} MN$
Fixons un élément $M$ quelconque dans $G$ . L'application $\phi_M : G \to G$ définie par $\phi_M(N) = MN$ est une bijection (c'est la translation à gauche par $M$ ). Par conséquent, lorsque $N$ parcourt $G$ , le produit $MN$ parcourt également tous les éléments de $G$ exactement une fois. On en déduit l'égalité des sommes :
$\sum_{N \in G} MN = \sum_{S \in G} S$
En réinjectant ce résultat dans l'expression de $P^2$ , il vient :
$P^2 = \frac{1}{|G|^2} \sum_{M \in G} \left( \sum_{S \in G} S \right)$
Comme la somme intérieure ne dépend plus de $M$ , nous sommons $|G|$ fois le même terme :
$P^2 = \frac{1}{|G|^2} \times |G| \times \left( \sum_{S \in G} S \right) = \frac{1}{|G|} \sum_{S \in G} S$
On conclut immédiatement :
$\boxed{ P^2 = P }$ La matrice $P$ est donc bien la matrice d'un projecteur.
Montrons l'égalité $F = \operatorname{im}(P)$ par double inclusion. Rappelons que pour un projecteur $P$ , on a $\operatorname{im}(P) = \{X \in \mathrm{M}_{n, 1}(K) \mid PX = X\}$ .
Inclusion $F \subset \operatorname{im$ (P) $F \subset im (P)$ :} Soit $X \in F$ . Par définition de $F$ , pour tout $M \in G$ , on a $MX = X$ . En sommant sur tous les éléments de $G$ :
$\sum_{M \in G} MX = \sum_{M \in G} X = |G| \cdot X$ En divisant par $|G|$ , on obtient $PX = X$ , ce qui prouve que $X \in \operatorname{im}(P)$ .
Inclusion $\operatorname{im$ (P) \subset F $im (P) \subset F$ :} Soit $X \in \operatorname{im}(P)$ , alors $PX = X$ . Soit $N$ un élément quelconque de $G$ . Calculons $NX$ :
$NX = N(PX) = N \left( \frac{1}{|G|} \sum_{M \in G} MX \right) = \frac{1}{|G|} \sum_{M \in G} (NM)X$ Comme précédemment, l'application $M \mapsto NM$ est une permutation de $G$ . Ainsi, $\sum_{M \in G} (NM)X = \sum_{S \in G} SX = |G| \cdot PX$ . On en déduit : $NX = \frac{1}{|G|} |G| PX = PX = X$ Ceci étant vrai pour tout $N \in G$ , on a bien $X \in F$ . On a donc démontré l'égalité : $\boxed{ F = \operatorname{im}(P) }$
Nous savons qu'en dimension finie, le rang d'un projecteur est égal à sa trace. Comme $F = \operatorname{im}(P)$ , on a $\dim F = \operatorname{rg}(P)$ . Calculons la trace de $P$ par linéarité : $\operatorname{tr}(P) = \operatorname{tr}\left( \frac{1}{|G|} \sum_{M \in G} M \right) = \frac{1}{|G|} \sum_{M \in G} \operatorname{tr}(M)$ D'où le résultat final : $\boxed{ \dim F = \frac{1}{\operatorname{card}(G)} \sum_{M \in G} \operatorname{tr}(M) }$

L'erreur classique consiste à oublier de justifier que $M \mapsto NM$ est une permutation de $G$ . Sans cet argument, le passage de la somme sur $MN$ à la somme sur $G$ n'est pas rigoureux.